Den stereoiiiuti'isko Bestemmeisu nf Keglesnitsliiiiei'iiu Ijciiyllfclfs ul' allu ilc t;i-;L'.ski; 

 Forfattere, hvis Arbejder ere os bekjendtc, til Cdlcdelsen al' en enkelt plangeometrisk 

 Hovedegenskab (o-y/^nrw/y.«) '), som derefter lagdes til Grund for deres videre 

 Undersøgelse, og som vi saaledes ere berettigede til at betragte som Keglesnittenes 

 plangeometriske Definition, og der foreligger ingen Anledning lil at tro, at de ældre 

 Forfattere, hvis Arbejder ere labte, bave haaret sig anderledes ad. Tvert imod tyder all, 

 saaledes allerede den plangeometriske Anvendelse af Parablen, som tillægges iMenaicbmos , 

 paa, at denne plangeometriske Grundegenskab, saa længe Keglesnittene have været under- 

 søgte, har været den samme, som vi finde hos Archimedes og Apollonios, nemlig 

 den, som algebraisk vilde udtrykkes ved den Ligning, hvorved Keglesnittene fremstilles i et 

 retvinklet Koordinatsystem, naar en Axe er tagen til Abscisseaxe. Vi skulle se, al de for- 

 melle Afvigelser, med hvilke denne Grundegenskab optræder i Grækernes geometriske 

 Fremstilling, ikke ere større end de, som man nu faar ved at tage forskjellige Punkter af 

 Axen til Begyndelsespunkter. Naar Pap pos dog udtrykkelig har fremhævet den Form, hvori 

 Bestemmelsen optræder hos Apollonios, er dette, som nys berørt, sikkert kun sket paa 

 Grund af de i Forbindelse dermed staaende nye Navne. 



En stik modsat Opfattelse gjøres imidlertid ogsaa paa dette Punkt gjældende af Cantor. 

 Denne Opfattelse vil, som den samme Forfatters nys nævnte paa Geminos støttede Paa- 

 stand blive imødegaaet ved vor efterfølgende Fremstilling af Steder hos Archimedes; men 

 allerede her anse vi det for rigtigt at forudskikke en Prøvelse af Cantors egne Grunde-). 



De Bemærkninger af Pappos, hvortil jeg nys sigtede, ere gjengivne i Begyndelsen 

 af vort Tillæg IF. Jeg kan ikke se, at der i dem ligger andet og mere, end jeg har an- 

 givet ovenfor. Cantor derimod har ikke blot som flere andre Forfattere^) deri set et Bevis 

 for, at den Fremstilling af Keglesnitslinierne, som vi tor Ellipsens og Hyperblens Vedkom- 

 mende allerede have berørt i forrige Afsnit, skulde være et væsentligt Fremskridt, som 

 skyldes Apollonios; men han gaar S. 2.52 saa vidt, at han paastaar, at Euklid ikke har 

 kjendt Parablen, Ellipsen og Hyperbelen som Kurver i Planen, eller i alt Fald, at de ikke 

 kunde forekomme som saadanne i de euklidiske Bøger om Keglesnittene. 



') Tannery bemærker med Rette, at Kurvens Bestemmelse ved denne svarer til dens Ligning i den 

 analytiske Geometri. (Bulletin des Sciences mathématiques 1883 p. 278). 



^) Blandt disse skal jeg dog ikke dvæle ved dem, der knytte sig til de Steder, hvor Fladcanlægeno 

 forekomme i Elementerne; thi jeg har i forste Afsnit visl, at disse Konstruktioner havde en til- 

 strækkelig stor Betydning udenfor Keglesnitslæren, til at Euklid kunde undlade i Elementerne at 

 tage noget særligt Hensyn til Anvendelsen paa denne Lære. Hvilken Forfatter af en elementa;r 

 Algebra tænker særlig paa Ellipsens og Hyperblens Ligning', naar lian diskuterer de forskjellige 

 Kornier for en Ligning af anden Grad med én ubekjendt? 



') Dog ikke alle. Min Opfattelse deles saaledes af Arneth og af Brctscli ncidcr i hans smukke 

 Forsøg paa at gjengive Mcnaichmos' (Idlcdelse af Keglesnittenes Egenskaber (t)le Geomelrie und 

 die .Geomclrer vor Euclid). 



5' 



