36 



Naar jeg skal imedegaa disse Ylringer af Cantor, inaa jeg dog fersl bemærke, at 

 den virkelige geometriske Betydning af de deri indeholdte Paastande længe har været mig 

 dunkel. En Opfattelse af dem, som jeg nu anerkjender for at være en Misforstaaelse, skal 

 jeg berøre paa Grund af de Undersøgelser, som den har givet mig Anledning til. Jeg 

 opfattede Cantors Paastand om, at Euklid ikke kjendte Eurverne som «Kurver i Planen», 

 saaledes som om han og hans Forgængere under Studiet af deres Egenskaber ikke skulde 

 have kjendt nogen plangeometrisk Grundegenskab, eller dog ikke have forstaaet at lægge en 

 saadan til Grund for videre undersøgelser, men derimod blot have opfattet Kurverne som 

 Kurver i Rummet, under hvis undersøgelse man stadig maatte vende tilbage til at be- 

 tragte dem paa selve Eeglen. 



Keglesnitslæren kunde ad denne Vej ikke være bragt til det hoje Standpunkt, 

 hvorpaa den stod fer ApoUonios, hvis de græske Geometrer ikke vare komne temmelig vidt 

 i den stereometriske Cndersøgelsesmaade , som ellers først anvendtes af Desargues og 

 Pascal og med fuld Konsekvens er udviklet af Poncelet. Jeg foranledigedes derfor til 

 en dobbelt Undersøgelse, dels en geometrisk Prøvelse af, om de før ApoUonios kjendle 

 Egenskaber, f. Es. den. der udtrykkes i Hyperblens Asymptoteligning, paa en for Grækerne 

 nogenlimde naturlig Maade fremgaa af Betragtning af Eurverne paa selve Keglen, dels en 

 Gjennemsøgning af, om der i den opbevarede Literatur skulde være levnet Spor af en saa- 

 dan stereometrisk Undersøgelsesmaade. Jeg fandt imidlertid baade, at den omspurgte Dd- 

 ledelse vilde kræve geometriske Forudsætninger, som der ellers ikke er nogen Grund til at 

 lillægge Grækerne, og at Behandlingsmaader, som kunde antages for Spor af nogen anden 

 stereometrisk Undersøgelse af Keglesnittene end den, der fører til den samme plangeome- 

 triske Fremstilling, som findes hos ApoUonios^), forekomme meget for sjeldent, til at tyde 

 paa nogen udstrakt Brug af en saadan Fremgangsmaade. Den stereometriske Undersøgelse 

 — og da nærmest kun i den simplere Skikkelse, den antager, naar en Ellipse optræder 

 som Cylindersnit, altsaa som Parallelprojektion af en Cirkel — kan højst være anvendt i 

 enkelte Tilfælde som heuristisk Middel, saaledes af Archimedes ved Bestemmelsen af 

 Ellipsens Areal, eller af den, som først har fundet, at parallele Korder i en Ellipse halveres 

 af en retliniet Diameter. Direkte er der dog aldeles intet opbevaret herom, hvilket for det 

 sidste Esempels Vedkommende er naturligt nok, da man dog maatte bruge andre .Midler 

 til at udvide Sætningen til Parablen og Hyperblen. 



i Henhold til den her omtalte Undersøgelse — som jeg paa Grund af det negative. 

 Udbytte ikke nærmere skal omtale — mener jeg at kunne fastholde, at Grækerne ikke have 



'I Man kan ikke sige, at det er ad deone Vej, at det bos ApolloDios er vist, at Keglesnit benreres til 

 konjugerede Diametre Ted samme Ligninger som til Axerne. Hans Bevis for, at de paa' disse to Maader 

 bestemte Keglesnit ere idenUske, er nemlig plangeometrisk. 



