39 



fra de fasle Punkter vi ville kalde x og x-^ , oprejst en vinkelret Ordinat ,//, iivis Kinlci/iinki 

 er et Punkt af den søgte Kurve. Tænke vi os paa samme Maade x\ x\ og ij' al beslcininc 

 et nyt Pirnkt af denne, er Eliipsen eller Hyperblen bestemt ved Ligningen 



-^ ■" (II 



saaledes al man faar den første eller anden af disse Kurver, eftersom Ordinaten oprejses 

 fra et Punkt af Linien AAy eller, fra et Pimkt af dens Forlængelse. Dog er der hos 

 Archimedes ikke Tale om at betragte mere end en enkelt Hyperbelgren. Hvorledes den 

 Relation, som vi her kort have gjengivel ved Ligning (1), udtrykkes geometrisk hos Archi- 

 medes, vil fuldstændig fremgaa af vort foregaaende Afsnit. 



Uden at forandre noget som helst ved Archimedes' Tanke kunne vi i vort Sprog 

 give den et endnu simplere Udtryk, idet vi skrive Ligningen (1) 



-^ — = konstant, (2i 



hvoraf vi se, at hans Fremstilling frembyder den Fordel, som ligger i, at man kan give 

 Konstanten et udtryk, som retter sig efter den øjeblikkelig foreliggende Opgaves Tarv ')• 



Hvilket Bevis Archimedes forudsætter for, at alle mulige Snit vinkelrette paa Sym- 

 metriplanen i en vilkaarlig cirkulær Kegle, som ikke ere af en mere speciel Natur, have 

 den Egenskab, hvorved Ellipser og Hyperbler her karakteriseres, fremgaar af hans Løsninger 

 af Opgaverne 7 og 8 i hans Skrift om Konoider og Sfæroider. Disse Opgaver — som i 9 

 efterfølges af en tilsvarende særskilt Behandling af det Grænsetilfælde, hvor Keglen om- 

 bytles med en Cylinder — gaa nemlig ud paa, al «finde en F(egle, som gaar gjennem en 

 given Ellipse og har et givet Punkt i den Plan, der oprejses vinkelret paa Ellipsens Plan 

 i en af Ellipsens Axer, til Toppunkt». Da Keglefladen, der i Almindelighed bliver skjæv, 

 er fuldkommen bestemt ved Ellipsen og Toppunktet, gjælder det kun om at finde Grund- 

 fladen, o: et cirkulært Snit, hvilket ogsaa i Virkeligheden er det, som Archimedes soger. 

 Det viser sig saaledes ikke blot, at Archimedes kjender Keglesnitsliniernes Frembringelse 

 som Snit vinkelrette paa Symmetriplanen i skjæve cirkulære Kegler, om han end for det 

 foreliggende Øjemeds Skyld kun holder sig til elliptiske Snit; men det Bevis, han forer for 

 Rigtigheden af sin Løsning af den stillede Opgave, er i Virkeligheden et Bevis for selve 

 denne Frembringelse. Tankegangen i dette Bevis skulle vi gjengive i forkortet Skikkelse, 

 idet vi i Øjeblikket se bort fra et for hans særegne Opgave nødvendigt Gjennemgangsled, 

 Betragtningen af Snil vinkelrette paa Keglefladens -Symmetriaxe. 



') En Koitegnelse over de Steder, livor Archimedes jjor Brug af den her iuilürle lluvedi'gciiskiili, 

 liudes i Heiberg: Uie Keiitiiisse des Archimedes über die Kegelschnille (Zellschrift lur .Miilli. mul 

 Phys., Iiist. AbUi, XXV, 2). 



