40 



Arcliimedps forudsætter bekjendt og bcnyltcr folgende Hjælpesætning M, som 

 let bevises ved ligedannede Trel<anler: Naar man fra et vilkaarllgt Punkt F trækker rette 



Linier parallele med opgivne Retninger, som skjære to 



FM FM 

 fasle Linier MN og il/, A^i , er Foriioldet „ , . ' „ ■^' 



konstant. Ere nn de faste Linier de Frembringere i en 

 cirkulær r(egle, som ligge i Symmetriplanen, og ere Li- 

 nierne MM^ Sporene paa denne Plan af Planer parallele 

 med den cirkulære Grundflade, bliver MF.FM^ = .V^) 

 idet y er Afstanden mellem P og de Punkter i Kegle- 

 fladen, som have P til Projektion paa Symmetriplanen. 

 Man faar da 



r 



= konstant. 



Fig. 10. 



NF. FN, 

 lîetragter man nu forskjellige Punkter F af samme Linie 

 NN, , ses det altsaa, at alle Punkter af det Snit i Keglen, 

 som udskjæres ved den i NN, projicerede Plan, have den ved Ligning (2) udtrykte Grund- 

 egenskab. 



Paa den foreliggende Figur, som paa Archimedes' Figurer, bliver Snittet NN, vel 

 en Ellipse, men det samme Bevis kan ogsaa anvendes paa hyperbolske Snit, naar man blot 

 forlænger en af Sidelinierne. At nu Archimedes og hans samtidige have vidst dette, er 

 der ingen Grund til at betvivle, da man heller ikke ved den gamle definitionsmæssige 

 Fremstilling af hyperbolske Snit ret vel uden en saadan Forlængelse kan være faldet paa i 

 den plangeometriske Bestemmelse af Hyperblen, o: af eu Hyperbelgren, at benytte ikke 

 blot dennes eget Toppunkt, men, som vi have set i Ligningerne (I) og (2), ogsaa den 

 fuldstændige Kurves andet Toppunkt. Af Archimedes' Tavshed kan man ikke drage nogen 

 modsat Slutning, da han her, som overalt, af Keglesnilslæren kun medtager, hvad han 

 netop har Brug for. 



En Bekræftelse paa, at jeg ikke derved har tillagt den Tids Geometrer en for stor 

 Viden, faar man ved at lægge Mærke til den Fortrolighed med herhen hørende Sætninger 

 og Opgaver, som Archimedes ej blot selv lægger for Dagen, men ogsaa forudsætter hos 

 sine Læsere. Et vigtigt Exempel herpaa haves i den almindelige Form for den Hjælpe- 

 sætning, som vi udtrykkelig have opstillet, men som Archimedes uden at opstille eller 

 bevise den anvender i en lige saa almindelig Skikkelse. El andet lignende Exempel paa 

 de Forudsætninger, han paa dette Omraade mener at kunne gjøre_ uden særskilt Begrundelse, 



') 1 Heibergs Udgave, I, 328, 9— lo benyttes denne Hjælpesa-tning i sin almindelige Skilil<else, andre 

 Steder i Beviserne mere specielle l''ornier af samme. 



