46 



Al deune moderne Premslilling virkelig giver en korrekt Forestilling om Archimedes" 

 Hensigt med Omformningen af Parablens Fremstilling, fremgaar af den Brug. som han videre 

 gjør deraf, og som vil blive fremsat i 20de Afsnit. 



Hos ApoUonios ville vi i Reglen ikke som her flnde Ligningerne for Keglesnit 



fremslillede som Proportioner, men som Ligninger af første Grad mellem Arealer, hvorved 



ogsaa Gjennemførelsen af Koordinatændringer ved den geometriske Algebra komme vore 



nærmere. Omskrivningen af de her omtalte Fremstillinger ved Proportioner til denne Form 



blive noget forskjellige efter den ilaade, hvorpaa Proportionerne skrives. De kunne saaledes 



(Fig. 1 1 ) blive 



EZ.ZD = ET.ZA, 



og EZ.ZC = EL.ZA, 



hvoraf ses, at begge de to Fremstillinger kunne opfattes som opecielt indbefattede i et 

 Theorem, om hvilket vi i syvende og ottende Afsnit skulle se, at det allerede kjendtes af 

 Aristaios og Euklid i en Skikkelse, der vel var ufuldstændig men dog sikkert vid nok 

 til at omfatte det foreliggende Tilfælde, nemlig Theoremet om «Stedet til fire Linier». 

 Den første af de to Ligninger udtrykker nemlig Ligestorheden af de to Rektangler, som 

 dannes af det bevægelige Punkt E's, Afstande, regnede i de paa Figuren viste Retninger, 

 fra Linierne AC. BD. CB og Diameteren AG gjennem .i, og den anden udtrykker 

 Ligestorheden af de to Rektangler, som dannes af Afstandene fra AC, Diameteren til C, 

 Tangenten CG os, Diameteren AG. Det tør dog ikke paastaas, at Archimedes udtrykkelig 

 bar lagt .Mærke til denne Omstændighed ^i. 



Vort Formaal med i dette Afsnit at betragte forskjellige Steder hos Archimedes, 

 som vedrøre Keglesnitslæren, har været at forberede til den rette Forstaaelse af den 

 sammenhængende Keglesnilslære, som vi kun have hos ApoUonios. Vi have især fremdraget 

 saadanne Steder, hvor der er nogen Afvigelse i de to Forfatteres Behandlingsmaade. Derved 

 mene vi for det første al bave paavist, at Afvigelserne for de fundamentale Sætningers Ved- 

 kommende ere saa ringe, at man virkelig tør betragte ApoUonios som Hovedrepræsentant 

 for den græske Keglesnilslære og i hans Beviser efterspore de Tankegange, som ogsaa før 

 hans Tid have ført til de opstillede Sætninger. Delte kunde man nemlig ikke, hvis det af 

 ApoUonios benyttede plangeometriske Grundlag, og dermed de derpaa byggede Beviser, virkelig 

 havde været helt nye. Paa den anden Side ville de Afvigelser, som ere tiislede i den videre 

 Gjennemførelse af undersøgelserne, hjælpe til al undgaa at opfatte Ejendommeligheder hos 

 ApoUonios som tilhørende den antike Keglesnilslære overhovedet. Naar, som i det nys 

 anførte Esempel, Archimedes fortrinsvis anvender Proportionslæren i Undersøgelser, hvor 



') I SlDtningen af 4de Ârsoit findes videre Oplysning om nogle Sætninger hos .\rchlmedes, der ikke 

 Gndes hos .\pollonios. 



