49 



Naar endelig Diameteren sl\Jærer 

 selve Frembringeren A B i T, faas Lignin- 

 gen: 



y- 



px ■ 



(3) 



Vi" 



Fig. 13. 



hvor a og p bestemmes som ved Hyperblen. 

 Kurven kaldes i dette Tilfælde en Ellipse [I3|. 



ApoUonios udleder disse Sætninger 

 — r^igninger i vort Sprog — ved Hjælp af 

 ligedannede Trekanter, omtrent som man 

 kunde det den Dag i Dag. Det vil for øvrigt 

 bemærkes, al Hyperblens og Ellipsens Lig- 

 ninger med de dertil hørende Konstantbe- 

 stemmelser næsten umiddelbart fremgaa af 

 den Hjælpesætning (se forrige Afsnit S. 40), 

 som Archimedes anvendte paa det mere spe- 

 cielle Tilfælde, hvor Snittet var vinkelret paa Symmetriplanen (altsaa ogsaa paa l'igurplanen). 



Til første Afdeling af første IJog ville vi endnu henregne Sætningerne 14 — 16, hvorved 

 vi komme i Overensstemmelse med den Inddeling, som ApoUonios selv betegner ved umid- 

 delbart for Sætning 17 at indføre en ny Række Definitioner. I 14 vises, at de to Grene 

 af samme hyperbolske Snit, som faas ved at forlænge Keglefladen udover Toppunktet 

 (zo/iai dunxsliJisvM) , ere kongruente. 1 1.5 vises, at Ligningen for en Ellipse beholder 

 samme Form, naar man ombytter Diameteren og Korderne med den Diameter og de 

 Korder, som henholdsvis ere parallele med de givne Korder og den givne Diameter, og i 

 16, at ogsaa for Hyperblens Vedkommende en Linie gjennem Cenlrum (Midlpunklet 

 af Diameteren) parallel med Korderne (Kurvens «anden Diameter i) halverer Korder paral- 

 lele med den givne ("første») Diameter. Her se vi for første Gang en Sætning opstillet, i 

 hvilken den a f d e to Hyperbelgrene sammensatte Kurve behandles som 

 en Helhed, en Opfattelse, der foreløbig er betydningsfuld for Sammenstilling af Ellip- 

 sens og Elyperblens Egenskaber, og hvoraf ApoUonios senere gjor endnu vigtigere Anven- 

 delser, om han end vedbliver i sine Benævnelser at betragte de lo samnienhorende 

 Grene som lo forskjellige Kurver. Hvad han kalder en Hyperbel, er saaledes stedse kun 

 en Hyperbelgren. 



En Ellipse, Parabel eller Hyperbel er her plangeometrisk bestemt som en Kurve, 

 der i et Parallelkoordinatsyslem med en vilkaarlig Vinkel mellem Axcrne fremstilles ved 

 Ligning (3), (I) eller (2). Bortset fra Bestemmelsen af disse Kurvers Beliggenhed synes de 



Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, natuivitloiisk. oir mathom. ATii. III. I. ' 



