52 



Fig. 14. 



B være (Fig 14) del oprindelige ISegyn- 

 delsespunkt, E det nye, J Skjæringspiinktel 

 melietn Tangenterne i disse Punkter, D og L 

 de Punkter, hvor disse Tangenter skjære Dia- 

 metrene til B og E; da er 

 E J 



At Apollonios benytter tre Sætninger 

 til denne Transformation, beror paa, at han 

 først behandler Parablen, dernæst det Tilfælde, 

 hvor B og E ligge paa samme lilllipse eller 

 Hyperbelgren, og endelig det, hvor de ligge paa 

 forskjellige Hyperbelgrene. 

 Nu er Apollonios endelig naaet saa vidt, al han kan gaa over til at paavise, at de 

 ved Ligningerne (I), (2) og (3) fremstillede Snit i skjæve Kegler ere de samme Kurver, 

 som fremstilles paa samme Maade ved retvinklede Koordinater, og som kunne frembringes 

 som Snit i Omdrejningskegler. Han anser sig endog for saa vel forberedt, at han for at 

 bevise det sidste umiddelbart stiller sig den Opgave [62 — 56]: «at finde" en Parabel, 

 Hyperbel eller Ellipse, naar Beliggenheden af Begyndelsespunktet og Diameteren, den til- 

 hørende Ordinatrelning, saml Jjængden af Parameteren og for Ellipsen og fJyperbelen tillige 

 Længden af Diameteren ere givne, allsaa med andre Ord, naar Kurven er given ved sin 

 Ligning. Del ses nemlig af Løsningen, at del "at finde» en saadan Kurve er at bestemme 

 den som Snit i en Omdrejningskegle. I Virkeligheden viser det sig imidlertid, at denne 

 enkeltvis for de tre Kurver stillede Opgave bestaar af to Opgaver, som løses hver for sig. 

 Apollonios begynder nemlig med al antage, at Ordinaterne danne retle Vinkler med Dia- 

 meteren og løser Opgaven for dette Tilfælde, i hvilkel han aldeles ikke faar Brug for de 

 foregaaende plangeometriske Undersøgelser. Dernæst viser han, hvorledes andre Tilfælde 

 kunne føres tilbage til dette, idet man altid kan konstruere en Diameter, der staar vinkel- 

 ret paa de tilhørende Ordinater. Er delte vigtige Faktum end ikke opslillel i el Theorem 

 eller i et særskilt Problem, fremgaar den Betydning, han tillægger det, af den Omhu, 

 hvormed han har forberedt denne Bestemmelse af en Axe. 



Denne sidste Bestemmelse, som vi her ville begynde med, støtter sig paa den nys 

 (Fig. 14) meddelte Bestemmelse af den Parameter p', som hører til Diameteren gjennem 

 Punktet E. Denne Diameter og den tilhørende Parameter p' betragtes nu som de givne, 

 medens Diameteren til B skal være en Axe og allsaa slaa vinkelret paa Tangenten i B. 

 Vi ville, for Ellipsens Vedkommende for al holde os til vor foreliggende Figur, eftergjøre 



