19 



At mail mi ogsaa iidoii donne paa tuKlids (eller Eudoxos') ['roporlionsiære grundede 

 Almiudoliggjnrelse, og rimeligvis tidligere, har anvendt den selv samme Løsning paa den 

 af os behandlede mere specielle Opgave, fremgaar af, at Sætning G i anden Bog nelop 

 giver fuld Anvisning paa selvsamme Løsning, saaledes som baade den med Fig. 4 ganske 

 overensstemmende Fig. 3 og vor første Omskrivning af denne (naar man ombytter b 

 med x) vise. 



Fig. 3 eller i viser endvidere umiddelbart, at den samme Opgave ogsaa kan stilles 

 som den at bestemme to Linier AD og BD, hvis Differens « og Rektangel b'- ere givne. 

 Dette bemærker Euklid ogsaa udtrykkelig i Data 8 i. Linien AD vilde være llod i Lig- 

 ningen 



x- — ax == è-, (2) 



hvad vi have antydet ved vor anden algebraiske Opstilling af Sætning 6. Netop derfor 

 behover Euklid ikke særskilt at behandle den geometriske Opgave, som vilde være den 

 umiddelbare Oversættelse af denne Ligning; thi ethvert Spørgsmaal, som afhænger af denne, 

 kan bringes til at afhænge af den omhyggelig behandlede Ligning x- + ax = b'^. Da 

 negative Størrelser vare ubekjendte, faar hver af disse Ligninger kiui én Rod. 

 Paa ganske lignende iVIaade er Ligningen 



ax — x"^ = b~ (3) 



behandlet hos Euklid. Denne maa geometrisk udtrykkes saaledes: langs en given Linie a 

 at lægge el Rektangel a^ givet Areal b- saaledes, at den manglende Figur bliver et Kvadral. 

 Denne Opgave, hvis Løsning fremgaar af Euklid II, 5 (se Fig. 2, hvor da AB = a, (KD} = b- 

 og BD=x), lindes almindeliggjort i VI, 28, saaledes at Rektanglet ombytles med el 

 Parallelogram med given Vinkel, Kvadratet med el manglende Parallelogram [v.apalX-qh'i- 

 ■fpanjxivj tlXélTzo'A af given Form. Løsningen er ogsaa her i andel Sprog den samme som 

 den nuværende Algebras, idel den bestaar i ved Subtraktion af begge Ligningens Sider fra 



1-^1 at danne et Kvadrat paa Siden CD = x med bekjendt Areal l-^j — b". 



Forud for Losningen, som i VI, 28 fuldstændig udfores, skikkes i VI, 27 en Mulig- 

 hedsbetingelse, der overfort paa den simplere Form, hvori Opgaven stilles ved vor Ligning, 



vilde gaa ud paa, at Arealet h'- ikke maa være større end l-^j • 



Idet Euklid i Beviset for Umuligheden af i->(-^| forsøger dels al lade x være 



< ^46' (Fig. 2), dels x^ AC (hvad der paa Fig. 2 kunde l'remsliiles ved x == Ji>, hvorved 

 Rektanglet med givet Areal fik Siden BD)^ lægger han for Dagen, at han meget vel véd, 

 at den Opgave, som udtrykkes ved Ligningen, lige saa vel tilfredsstilles af x = AD som 

 af x==BD. Naar han ikke desto mindre i VI, 28 kun angiver 1 Løsning, saa maa delte 



3' 



