18 



For dernæst al faa at vide, hvor vidt de gamles Kjendskab til blandet kvadra- 

 tiske Ligninger og disses Losning eller Reduktion til rent kvadratiske Ligninger strakte 

 sig, vil det være hensigtsmæssigt at prove, b\ilken Skikkelse den kvadratiske Ligning 

 maatte antage i den geometriske Algebras Sprog, og hvilke Hjælpemidler denne dernæst 

 havde til al flnde Løsningen. 



Lad os først betragte Ligningen 



x^--[-a.T = V-, (1) 



hvor vi have tænkt os, at det konstante Led, der i hverl Fald maa fremslille et Areal, er 

 omdannet til et Kvadral, en Omdannelse, som, naar det ferst er gjort til el Rektangel, 



foretages ved den netop omtalte Sætning H, li. Dette 



4 T j =P Kvadrat skal være lig Summen af Rektangel aa- med 



■ I den givne Side a og den ubekjendle Side æ og af 



L : Î \M 



■* S ; ! Kvadratet paa denne sidste Side. Opgaven er altsaa 



j ' ! den langs en given Linie AB = a at lægge et 



! Rektangel iAM) af given Størrelse Ir, saaledes at 



! der bliver et livadrat (BM) = x- tilovers. Denne 



Opgave er endog efter sin Ordlyd specielt indbefattet 



''" " i Eukl. VI, 29, hvor blot Rektanglet er ombyltet 



med el Parallelogram med given Vinkel , det overskydende Kvadrat med et Parallelogram 



(TiapalÀrjÀÔYpa^iiov uiispßdVMv) med given Form. 



Naar vi nu skulle løse den stillede Opgave, ville vi af de tidligere omlalle Sæt- 

 ninger forudsætte Sætning 4 og den dertil hørende Fig. I bekjendt. Idet vi da, for at faa 

 en Analysis af samme Art som dem, de gamle brugte, begynde med at tænke os Opgaven 

 løst ved Fig. 4 , ligger det nær dernæst ved Omdannelse af Figuren at søge at danne et 

 Kvadrat af bekjendt Størrelse. Delle kan faas ved at dele Rektanglet (KB\ i lo Halvdele 

 og dernæst i Overensstemmelse med Fig. 1 at omlægge den ene Halvdel [KC] saaledes, at 



det hele sivne Areal 



{KB) = 2 . \aæ -|- x"- = è^ 



bliver til en «Gnomon», som i Forbindelse med det bekjendte Kvadrat (^a)- udgjor et Kvadrat 

 med det bekjendte Areal b-^(\à\-. Dettes Side CD = æ-\-\a bestemmes dernæst ved 

 den Pythagoræiske Læresætning, hvorved Opgaven er lost, idet Punktet B nu kan kon- 

 strueres, æ = BB vil da ogsaa være funden. 



Bortset fra Forskjellen mellem den geometriske og algebraiske Fremstillingsform, 

 have vi her udfort nøjagtig det samme, som naar vi nu løse den opstillede Ligning ved 

 paa begge Sider af Lighedstegnet at addere (\a)-. Og samtidig viser det sig, al vor Ana- 

 lysis passer fuldkommen sammen med den SvTithesis, som vi for den almindeliggjorte Op- 

 gaves Vedkommende have i Eukl. VI, 29. 



