17 



multiplicores ved Multiplikation af alle Led i den one med alle Led i den anden. De to 

 sidste Identiteter 9 og 10 kunde udledes paa samme Maade eller af de foregaaende Sæt- 

 ninger; men Ruklid foretrækker at benytte den alt i første Bog beviste l'y t iiagoræiske 

 Læresætning. 



Da de udviklede Sætninger ere saadanne, for hvilke der, som vi skulle se, kan 

 paavises bestemte Anvendelser, tildels saadanne, hvis tilsvarende algebraiske udtrykkelig 

 udhæves i vore Algebraer, giver den Omstændighed, at Kuklid kun nævner disse, ingen- 

 lunde Anledning til at tro, at de ere de eneste Anvendelser, han og hans Forgængere 

 kunde gjøre af den benyttede Fremgangsmaade. Man kan derimod sige, at Anvendelserne 

 ere talrige nok til at give Anvisning paa at anvende den samme Fremgangsmaade overalt, 

 hvor den er anvendelig. 



Foruden den her benyttede Multiplikation af flerleddede Størrelser, forbunden 

 med Sammentrækning ved Addition og Sublraktion, træffer man allerede i Euklids første 

 Bog den geometriske Operation, som svarer til Division af et Produkt af to Størrelser 

 med en tredie. Denne bestaar i at lægge det af de første dannede Areal langs med 

 (napaßaXeiv) den 3die o: at omdanne del til et Rektangel med den 3die til Side. Derved 

 sættes man ogsaa i Stand til Sammentrækning af en Sum eller Differens af saadanne 

 Rektangler, som ikke have nogen Side fælles, til et enkelt Rektangel. 



Roduddragning eller Løsning af rent kvadratiske Ligninger have vi i den 

 Opgave at omdanne et Rektangel til et Kvadrat, hvortil Euklid (If, 14) benytter vor Mellem- 

 proportionalkonstruktion; men da han ikke endnu er naaet til Proportionslæren, beviser 

 han Konstruktionens Rigtighed ved den pythagoræiske Læresætning. Haus Bevis, der 

 nærmest svarer til den algebraiske Omskrivning 



A (a^by- (a-by 



er i øvrigt bygget paa den foregaaende Sætning 5, men kunde lige saa let være bygget 

 paa Sætning 6. Om man skal bruge den ene eller den anden, beror paa, om man — i Be- 

 viset eller Udledelsen, thi Konstruktionen er den samme — begynder med at afsætte a og h 

 paa hinandens Forlængelse eller den ene paa den anden ^). 



') Hvis Euklid i Stedet fur 5 havde benyttet Sætning 6, og liavde trukket Beviset for denne Hjælpe- 

 sætning med ind I Beviset for Konstruktionen, vilde denne Begrundelse falde ganske sammen med 

 en Udledelse af samme Konstruktion, som findes hos den indiske Mathematiker Baudhåyana 

 (se Cantor: Geschichte, S. 546). .leg er derfor fuldkommen enig med Cantor i at finde denne Ud- 

 ledelse stemmende med den græske Geometri, medens Han kel er lilbojelig til gjcnnemgaaondc at 

 betragte Anvendelser af Arcaloperationer som ejendommelig indiske og fremmede for den græske 

 Geometri. Denne Opfattelse vil blive imodegaaet ved vor Paavisning af den Bolle, som Arealopcra- 

 tioner have spillet saavel i Grækernes elementære Geometri som i deres Kcglesnitsl.-erc, nm ilrn nnil 

 begge Steder fremtræder i den græske Frcmslilliiigskunsts strenge Klædebon. 



Vitlensk. Selsk. Stcr., C. Ræltka, naturvidensk. og matltcm. Afd. III. 1. 3 



