16 



niaa være udviklet fer Euklids Tid, og som de gamle anvendte med saa slor Færdiglied. at 

 dens Indovelse sikkert har hort med til god mathematisk Uddannelse. For at paavise dette 

 maa vi undersøge disse Operationers første os bekjendte Fremtræden, nemlig i Euklids 

 anden Bog, som helt igjcnnem er bygget paa denne Methode. 



Vi kunne skrive de 10 første Sætninger i anden Dog af Euklid: 



1. ath-\-c-\-d . . .) = ab -\- ac-{- ad -\- . . . , 



2. {a + bf = {a-\-b)a+ia + b)b, 



3. {a-\-b)a 



ab - 



4. {a-^b\- = a- + b^-\-2ab, 

 5 



(a — b)b + (la-br- = aa)- eller (a—b)b + ib — },a)- = {^a)'^, 

 (a+6)6-f (-|ap = aa-i-6r- eller 6(ft — a) + (Jap = (5 — la)-, 



a^ + b- = 2ab — {a~br, 

 iab + (a — bf = (a+èi-, 



(a — 6)2 + 62 = 2(>a)2 + 2(èa — è)- eller (a — hf-^b- = 2 (|a)= + 2(Z>— ^atS 

 10. 62_L (3 + 0)2 = 2(ia)2-f2(.U+6)- eller {b — a\^^b'- = 2daf--^2{b — },ar-. 

 Disse algebraiske Fremstillinger kunne dog varieres noget ved Ændring af Betyd- 

 ningen af de Betegnelser, som vi give Afstande mellem en Linies Punkter. 



Vor første Ligning er blot et udtryk for, at et Rektangel ved Paralleler med den 

 ene Side (Bøjden) deles i nye, hvis Grundlinier tilsammen udgjøre det givnes. Sætningerne 

 2 og Sj som vel nærmest skulle forberede den viglige Sætning 4, ere specielle Tilfælde af 1 . 



a)j 



A 



o^ 



nb i 



i 



C 



D B 



C 



R D 



M 



M 



Fie. I. 



Fil. 2. 



Fis. 3. 



Ligning i maa opfattes som Ddtryk for den paa Fig. 1 givne Dekomposition af et Kvadrat 

 med Siden a-\-b. Ligningerne 5 og 6, om hvis videre Betydning vi snart skulle tale, 

 udtrykke paa samme Maade de paa 4 grundede Egenskaber ved Figurerne 2 og 3 , hvor C 

 er Midtpunktet af AB, som vi have sat = a, medens DB eller AD er kaldt b, og paa 

 lignende Maade udtrykke 7 og 8 Sætninger, hvis Rigtighed stilles umiddelbart for Oje ved 

 de Figurer, bvis Egenskaber de fremstille. 



Den i disse Sætninger anvendte Fremgangsmaade kan i Almindelighed benyttes til 

 at vise den geometriske Sætning, som svarer til den algebraiske, at flerleddede Størrelser 



