1-2 



I-æren om Keguinger og Talforbold udviklede sig vel ?auitidig : men som videnskabelig 

 godkjendles den kun i sin Anvendelse paa Forhold mellem rationale Slørrelser, saaledes 

 som den optræder i Euklids arithmeliske Bøger (7de — 9de|. Del kan imidlertid ikke fejle, 

 al man praktisk anvendte Tal og Proportioner ogsaa paa Geometrien om end med den 

 Bevidsthed, at man, for at faa sine Resultater godkjendte. bagefter maatte bevise dem ad 

 anden Vej. 



Da endelig — som det almindelig antages — Eudosos fra Knidos (408 — 355) 

 fandt det nye og almengyldige Grundlag for Proportionslæren, som vi have angivet, og som 

 Euklid har oplaget i sin Geometri og anvendt paa Læren om ligedannede Figurer, har man 

 nødvendigvis maaltet indse, at denne nye Proportionslære fuldkommen stemte med den gamle, 

 eller rettere, den gamle arithmeliske har Skridt for Skridt tjent til Vejledning ved Udvik- 

 lingen af den nye. Om end Euklid bar fandel del rigtigt i Stedet for at bygge ogsaa den 

 arithmeliske Proportionslære i 7de — 9de Bog paa de almengyldige Beviser i 5te, men 

 har bibeholdt de gamle arithmeliske Beviser, bliver det dog fuldstændig tydeligt ved Over- 

 ensstemmelsen i Benævnelser og Sætninger, at man indsaa Forbindelsen. Heraf følger 

 imidlertid, al de gamle ogsaa under deres Anvendelse af Proportionslærens Apparat af 

 Sætninger — ligesom vi, naar vi udtrykke vore algebraiske Operationer i Proportioner — 

 vare i Stand til som personlig Vejledning at benytte Tanken paa de Regneoperationer, som 

 ligge bag ved Sætningerne. 



Trods dette er for Kutidens Opfattelse en nogenlunde overkommelig Anvendelse 

 af Proportioner uadskillelig fira Brugen af et Tegnsprog, der lader deres Forbindelser og 

 de Omdannelser, der ifølge bekjendte Sætninger ere mulige, falde i Ojnene og binde sig 

 fast i Hukommelsen. Oldtiden havde vel ikke et Tegnsprog, men et Hjælpemiddel til 

 Anskueliggjørelsen af disse som andre Operationer havde man i den geo- 

 metriske Fremstilling og Behandling af almindelige Størrelser og af Ope- 

 rationer med samme. 



Denne Fremstiilingsmaade beror paa, at en paa en Figur afsat Længde (eller, hvad 

 man derefter bruger ved Siden heraf, et Areaij, som ganske vist umiddelbart har en aldeles 

 bestemt Størrelse, dog indenfor visse Grænser kan fremstille en fuldstændig almindelig 

 Størrelse, idet nemlig de geometriske Sætninger, som anvendes, ikke give andre Resultaler 

 end dem, som ere nedlagte i de udtrykkeUg vedtagne Forudsætninger, og Resuilaterne allsaa 

 blive uafhængige af de tilfældige Størrelser, som indførte Længder (eller Arealen have faaet 

 paa den tegnede Figur'). Delte Bjælpemiddel kunde man vedblive at anvende uafhængig 



DeUe HjælpeDiiddel slaar i videoskabeligl Omfang =om i prakUsk .^nvendeliglied lil algebraiske 

 IJndersBgelser langt OTer el UUvarende arilhmelisk Hjælpemiddel hos Diofant, der ofle fremstiller 

 almindelige Regneoperalioaer ved indførelse af bestemte Tal for vilkaarlige. Idel de indferic Tal 

 ere rationale, have Uperalioner med dem for de gamle kun repræsenteret Operationer med rationale 



