10 



Man hur underliden \illet gjare gjældeude, al de gamles Proportioner havde en 

 ira vore afvigende Betydning derved, at disse sidste ere Ligninger, men de gamles bestaa 

 i en vis Forbindelse mellem Forhold, som ganske vist, naar Forholdenes Led ere kommen- 

 surable, bliver til en Ligning, men ellers bestemmes ved en ejendommeh'g Definition i 

 Euklids femte 15og. Denne Definition, som gaar ud paa, at a staar i samme Forhold til b 



som c til d, naar alle de hele Tal M og iV, som gjøre M.a^N.b, ogsaa gjore M.c~ N.d, 



er imidlertid ikke nogen anden end en almengyldig Definition paa Forholds Ligestorhed, og 

 falder meget uær sammen med den, som Weierstrass i vore Dage anvender til at defi- 

 nere Værdien af irrationale Størrelser. At det, om Euklid end ikke kulder Forholdene lige 

 store, virkelig er Ligestorheden, der defineres, viser sig derved, at en af de første Sæt- 

 ninger, som bevises paa Grundlag af denne Definition, er, at naar a:b :: c:d, hvor vi 

 foreløbig bruge det Tegn, som man i den moderne Omskrivning af antike Proportioner har 

 sat i Stedet for lighedstegnet, og samtidig c : d :: e:f, er ogsaa a:b :: e-.f-). 



Sagen er saaledes i Virkeligheden den, at medens man i den moderne elementære 

 Algebra sædvanligvis bruger Lighedstegnet uden at give en ogsaa for inkommensurable 

 Størrelser gjældende Forklaring af, hvad Værdierne ere af de Forhold, som man sætter lige 

 store, lagde man i Oldtiden, uden at bruge Lighedstegn eller Lighedsnavn, en saadan be- 

 stemt defineret Betydning ind i den opstillede Forbindelse mellem Forhold , at denne I'or- 

 bindelse netop er den, som vi kalde Ligestorhed-). Med Definitionen paa Ligestorhed af 

 Forhold var forbunden den tilsvarende paa uligestorhed. 



Disse Definitioner paa et Forholds Størrelse i dets Forbindelser med andre, 

 vare saaledes de samme, som karakterisere den almindelige Størrelse, der indgaar i 

 den nuværende Algebra og kontinuert antager alle Værdier, ikke blot saadanne, som staa i 

 et rationalt Forhold til en vis Enhed. Den derpaa byggede Proportionslære indeholdt Sæt- 

 ninger, som satte i Stand til at udføre de vigtigste algebraiske Operationer med denne 

 Størrelse. Navnlig havde man i Sammensætning af Forhold et Middel til faktisk Udførelse 



') Af Grundlaget for dcii Euklidiske Proporliunslærc findes en meget smuk, udfnrligere l''rcmslilling 



i et brudstykke om Euklid i Sluluiiigei] af Hanket: Zur Geschichte der Walliematik etc. 

 '} Ogsaa Maximilien Marie, til h\eni jeg ellers ikke her har sigtet, synes S. ô at finde en Furskjel 



deri, at i en moderne froportion -,- = -7 mellem fire Liiiiei' a, b, c, d, disse Størrelser heteane 



ud 



Liniernes Talværdier eller Kulholdene til en bestemt Enhed. Delte bliver da en mere sammensat 



Kelation, som man, naar Enheden kaldes e. vilde kunne skrive —:— = —: — , og som de ganile 



e e e e 



ogsaa vilde kunne give Udlryk. Til geometrisk Undcrsogelse er den ikke saa bekvem som den, hvor 



ingen Enhed indfores, hvad man jo ogsaa nu til Dags undlader i almindelige Undersugelser. Uer 



er for evrigl, som vi snart skulle berøre. Grund lil at antage, at Proporlionalilel melleni Talværdier 



har værel brnsl, ftireiid man opstillede de l'>uklidiske Di'llnilioner. 



