_59 



EC^ ^ EC' 

 ^ AC. C'B^ AC. CB ' 



Nu vides dul, al, naar i Punkter at' en ret Linie .J , B, (7, I), fra et PuniU B 

 projiceres ind paa en med BI) parallel ret Linie og ^ J ; , Z?i , C^ ere Projektionerne af 



A, B, C, bliver 



AC. Bl) A^C, 



BC.AD B,C, 

 Tør man tillægge Apollonios Kjendskab til dette specielle Tilfælde af Sætningen om 

 Bevarelsen af det anharmoniske Forhold ved Projektion, er Tankegangen i hans noget vidt- 

 løftige Bevis simpel nok. Han har da ræsonneret saaledes. Naar paa Fig. 16 Punkterne 

 A, B, C, C' fra et Punkt P projiceres hen paa en med FE parallel Linie i Punkterne 

 ^1, ßi, C,, C'i, giver den opstillede Relation, som kan skrives 



AC. EC ^ OB EC 

 ^ÂO~.^C -^ 'CB . EC ' 



at A^C^ . CiB, >^,C'i . C,B^. 



Punktet C, vil, ifølge den nys citerede Sætning hos Euklid, tilfredsstille denne 

 Maximumsbetingelse, naar C^ er Midtpunktet af A^B^, allsaa naar A^Ci ^ C^B^. En 

 fornyet Brug af Hjælpesætningen om Projektion giver da 



AC. EB _ A,C^ _ 

 CB. EA "" 'C,B, ~" ' 



eller at C og E niaa være harmonisk forbundne med Hensyn til A og B. 



Apollonios tager [Sætning 34] I) til Projektionscentrum og projicerer Punkterne 

 ind paa en med DE parallel Linie gjennem A. Boriset fra den synthetiske Form afviger 

 hans Bevis for, at den paa den anførte Maade bestemte Linie ED virkelig er en Tangent, 

 kun fra den her meddelte analytiske üdledelse derved, at han ikke citerer Hjælpesætningen 

 om Projektion, men beviser dens dobbelte Anvendelse ved Hjælp af ligedannede Trekanter 

 og lader disse Beviser udgjøre en Del af sin egen Bevisførelse^). Opkomsten af det tem- 

 melig sammensatte Bevis lader sig let forklare ved den Antagelse, at dets Forfatter selv 

 har kjendt den omtalte Hjælpesætning, men ikke har turdet forudsætte den bekjendt for 

 sine Læsere. 



For denne Antagelses Rigtighed taler, hvad vi ellers vide om Kjendskab i Oldtiden 

 til samme Fljælpesætning. Den forekommer, saavel som den — efter den moderne Op- 

 fattelse af uendelig fjerne F'unkter — almindeligere Sætning om det anharmoniske Forholds 

 uforanderlighed ved Projektion, iblandt Pappos' Hjælpesætninger til Euklids Boger om 



Detle har jeg iiojere eflervist ved et Referat :if lîeviset i Tidsskrift for Matliematik, I8S2, S. 9S. 

 Housels Gjengivelse (Liouville, sér. 2, t. III, p. I5S) har næsten intet fælles med Apollonios' egen 

 Bevisførelse, 



