60 



Porismerne M, og der er næppe nogen Tvivl om, al den nnder en eller anden Kurm 

 har været at finde i dette ^■ærk■-^. Det er da ganske naturligt at antage, at Apollonios 

 har kjendt den benyttede Hjælpesætning fra Porisnierne; men da han ikke direkte be- 

 nytter dette Værk. er hans foreliggende Bevis fremkommet. For øvrigt kan dette Bevis 

 eller dog Grundtanken deri ogsaa direkte tilhore Euklid og være fremsat i dennes Bøger 

 om Keglesnittene. 



Apollonios omdanner [i 37 — iO] Tangentbestemmelsen ved Hjælp af de nu brugelige 

 Omformninger af Relationen mellem fire harmoniske Punkter, hvilke lade sig udføre alene 

 ved den i Elementernes anden Bog brugte Fremgangsmaade. Er saaledes O Centrum, 

 finder han (Fig. 16), al 



OC.OE = OA' = ij\\ . (I) 



hvoraf man endvidere ved Subtraktion af OC- finder 



OC. CE = AC.Cß, (il) 



allsaa ifølge Kurvernes Ligning, at 



Ci>2 = P-.OC.CE, (Hl) 



en Relation, hvis Anvendelse ved Koordinalændringer vi snart skulle faa al se. 



Trækkes endvidere den med Ordinaterne parallele Diameter, hvis Længde ù er be- 

 stemt — for Hyperblen ved Definition — ved 



P b"- 



a a^ 



Og skjærer den (Fig. 16! Tangenten ED i G og den med AE parallele Linie DE i F, 

 kan Ligning (III) ved Brug af ligedannede Trekanter omdannes saaledes: 



ÈL — JL— ^^'' — OF. OG _ OF. F G 



a^ ~ a~ OC.CE ~ OC.OE ~ OC ' ' * 



som, idet OC = FD, dels umiddelbart giver 



FIP = -.OF.FG, ■ (Illb) 



P 



dels ved Benyttelse af ill giver 



OF. OG = UÇy. (Ib) 



For Ellipsens Vedkommende følge disse sidste Ligninger egentlig umiddelbart af 

 de tilsvarende (I) og (III), idet Apollonios allerede tidligere [i 16] har vist Ombytningen af 



Ilte Hjælpesætning, Pappos' VII Bog, 137. 



Cet er ganske vist noget vanskeligt at slutte fra Pappos' Hjælpesætninger til, hvad der undes i det 

 Værk, hvortil de bore; thi Pappos føjer dem jo netop til, fordi han savner deres Beviser i Værket. 

 Fra Pappos' Kommentarer til Skrifter, som vi kjende, kan man dog slutte, at ogsaa andetsteds selve 

 Pappos' Sætninger i Reglen findes i Hovedværket som Forudsætninger, der enten anses for bekjendle 

 i den samme eller i eu anden Form, eller bevises noget anderledes end bos Pappos. 



