61 



Ellipsens Diameter med den koiijugerede. For Hyperblens Vedkommende have de derimod 

 større Betydning og benyttes i anden lîog ved Studiet af konjugerede Hyperbler. 



Endnu have vi tilbage at gjøre Rede for, hvorledes ApoUonios udleder, at Kcgle- 

 snitslinierne have uendelig mange Diametre med de samme egenskaber som den oprindelig 

 givne. Dette opnaar han ved Omdannelser af den geometriske Form for Kurvernes Lig- 

 ninger og ved Overgange til nye Koordinatsystemer. De herhen hørende Operationer have 

 imidlertid en saa vidtrækkende Betydning i den anlike Keglesnitslære, at de bør behandles 

 samlede i det næste Afsnit, i hvilket der da ogsaa vil blive gjort Rede for andre endnu 

 manglende Beviser i ApoUonios' første Bog, som det er af Betydning at kjende. 



Fjerde Afsnit. 

 Omformiiiiiger af Keglesnittenes Ligninger; Ændringer af Koordinaterne. 



Vi have set ApoUonios fremstille Keglesnitslinierne ved Ligningen 



hvor Æ! og y ere Parallelkoordinater, idet blot denne Ligning for ApoUonios var en Ligning 

 af første Grad mellem Arealerne af Kvadratet y^ , Rektanglet px og Rektanglet «*■ . a-, 

 eller endnu simplere mellem Kvadratet y- og Rektanglet x{p + uæ). Konstanterne vare 

 givne paa selve Figuren, navnlig ved den sidste Bestemmelse ved en Hjælpelinie, hvis ret- 

 vinklede Ordinat blev Rektanglets Højde p + «''^'- Vi have fremdeles omtalt, at ApoUonios 

 ikke blot opnaaede denne Ligningsform ved Henførelse til et enkelt, ved den stereometriske 

 Bestemmelse givet Koordinatsystem, men ogsaa ved Overgang til nye, i hvilke den ene 

 Axe var en Diameter, den anden Tangenten i dens Endepunkt. Dels under denne Over- 

 gang, dels paa andre Steder træffe vi paa Fremstilling af Keglesnittene ved andre Lig- 

 ninger af første Grad mellem Arealer, der let lade sig sammensætte af saa- 

 danne, som ere proportionale med a;^, æy, y-, æ, ?/, idet x og y ere Koordi- 

 naterne i et Parallel koordinatsystem. Den ved en saadan Sammensætning givne 

 Forbindelse med den analytisk -geometriske Ligning i et Parallelkoordinatsystem kan være 

 nyttig for os at betragte for derved ad Veje, der ere os bekjendte, at faa det rette Blik 

 for Anvendeligheden af og Forbindelsen mellem forskj.ellige af de gamles Fremstillinger; 

 men der er en væsentlig Afvigelse mellem disses Fremstillinger og vore tilsvarende deri, at 

 Grækerne ikke saa meget tilsigtede, at de faste Figurdele og Figurbestemmelser skulde 

 være saa faa og simple som muligt, men meget mere, at Ligningerne — som de maatte 



