62 



udtrykke i Ord — skulde blive simple. Derfor søgte de ved Indførelse af faste Hjælpe- 

 linier og ved Ombytning af de med Koordinataxerne parallele Linier gjennem det bevægelige 

 Punkt med nye Koordinatretninger, dels at trække alle Leddenes Koefficienter ind i selve 

 de ved Leddene bestemte Arealer, dels at give Arealerne saadanne Former, at de kunde 

 trækkes sammen, saaledes at Antallene af Led i Ligningerne reduceredes. Begge disse 

 Ting vare, som vi have set, i ApoUonios' nys omtalte oprindelige Fremstilling opnaaede ved 

 en Hjælpelinie, og dette samme iVliddel til Simplifikation fandt vi benyttet i Archimedes' 

 Fremstillinger af Parablen, hvor Ligningen havde Form af en Proportion. Hos ApoUonios 

 var Hjælpelinien, derved at den fremstilledes i et særeget retvinklet Koordinatsystem, be- 

 tegnet som et det foreliggende skjævvinklede Koordinatsystem uvedkommende Middel til 

 Fremstilling af den enkelte bestemte Kurve i dette sidste. Dette er imidlertid ikke overalt 

 Tilfældet. Andre Steder kunde der snarere være Anledning til at betragte det hele Apparat 

 af faste Linier som udgjørende et mere sammensat Koordinatsystem. Vil man dog ogsaa 

 i disse Tilfælde for Overblikkets Skyld forsøge at betragte Kurven som henført til et enkelt 

 Parallelkoordinatsystem, medens man lader de øvrige faste Linier træde i Stedet for Kon- 

 stanterne i de moderne Ligningsformer, kan man være i nogen Tvivl om, hvilke af de be- 

 nyttede faste Linier man skal betragte som Koordinataxer, eller om man mulig, hvor de 

 gamle have indført Koordinatretninger, som ikke ere parallele med faste rette Linier, skal 

 tænke sig indført helt nye Axer med disse Retninger. Naar paa denne Maade de gamles 

 Bestemmelsesmaade omtrent lige let lader sig udtrykke ved Henførelse til to forskjellige 

 Parallelkoordinatsystemer, overflødiggjøres derved vor Overgang mellem disse to Systemer, 

 eller rettere, den er erstattet ved de Ændringer i Konstanternes geometriske Fremstilling, 

 som have ført til en saadan Bestemmelsesmaade. 



Vi have foreløbig et yderst simpelt Exempel paa denne Tvetydighed i Archimedes' 

 Bestemmelser af en Ellipse eller Hyperbel, i hvis Gjengivelse (i andet Afsnit) vi i Stedet 

 for én Abscisse have brugt Betegnelser æ og a;' for Abscisser regnede fra begge Top- 

 punkter. Det ene af disse er nemlig ikke mere Begyndelsespunkt end det andet, og Frem- 

 stillingen lader sig omtrent lige saa let henføre til et hvilket som helst Punkt af Axen som 

 Begyndelsespunkt, f. Ex. til Centrum. 



I ApoUonios' Fremstilling er der derimod tillagt det ene Endepunkt af Diameteren 

 en saadan bestemt Rolle, at dette særlig kan betragtes som Begyndelsespunkt. Vi træffe 

 derfor ogsaa hos ham en Flytning af Begyndelsespunktet, nemlig i Sætning 15, 

 hvor en Ellipses givne Diameter og de dertil hørende Ordinater ombyttes med den kon- 

 jugerede Diameter og de dertil hørende Ordinater. Uden at afvige væsentlig fra ApoUonios' 

 Betragtningsmaade kunne vi nemlig betegne denne Ombytning som en Flytning af Be- 

 gyndelsespunktet, uden Drejning, først fra den givne Diameters Endepunkt til Centret og 

 dernæst til den konjugerede Diameters Endepunkt. ApoUonios' Udførelse af disse Opera- 



