65 



KT a BL 1BL 



naar blot -^^^ = — • --=- = , (3 



HH p LB p 



Delte sidste opnaar Apollonios ved at lade IIT være parallel med Tangenten i E. 



Denne er nemlig [37], som vi alt have omtalt i SliUningen af forrige Afsnit (se Ligning 



(III)), bestemt ved ^^z p 



CZ.ZD ^ 7' 



ZI) a ZE a BL 



hvoraf følger, at ZE ' p iJZ " 7 CB 



Bestemmelsen af HT& Retning ved Tangenten i E har den Fordel, at den er en- 

 tydig, medens Bestemmelsen ved Ligning (3) tillader at afsætte KT til begge Sider for K 

 og altsaa giver to Retninger af Linien HT, som ved den videre Anvendelse ikke vilde vise 

 sig lige hensigtsmæssige. Muligt er det, at Apollonios, der ikke, som man nu kan, har 

 kunnet opnaa Entydigheden ved Brug af Fortegn, netop for at undgaa den med Tvetydig- 

 heden forbundne Forvirring har valgt Brugen af Tangenten, der paa sin Side har været 

 forbunden med en Del andet Besvær. For dens Skyld har han nemlig for det første allerede 

 i første Bog maattet udlede de alt omtalte Sætninger om Tangenten i et Punkt E uden 

 for den givne Diameter, hvilke ellers senere vilde komme af sig selv. Dernæst har den af 

 ham fulgte Vej den store Ulæmpe, at han først i tredie Bog kan naa at give den ved Lig- 

 ning (2) udtrykte Sætning den fulde udstrækning. Det er nemlig i det førte Bevis for- 

 udsat, at begge Diametre CB og CE skjære Kurven. For den enes Vedkommende kommer 

 han vel strax ud over dette [i 45], ved at lade CB være den konjugerede Diameter til 

 den givne, idet han da for Hyperblens Vedkommende benytter den tidligere omtalte «Længde» 

 af en Diameter, der ikke skjærer Kurven. Derimod savner han, naar den anden Diameter 

 CE ikke skjærer Kurven, den Tangent, med hvilken Linierne HT skulde være parallele. 

 Han kan saaledes først fuldstændiggjøre sin Sætning , efterat han i anden Bog har under- 

 søgt de saakaldte konjugerede Hyperbler, som have de samme konjugerede Diametre, 

 og som, henført til et Par af disse, faa samme Ligning paa et Fortegn nær. Hvis paa 

 den undersøgte Figur Kurven er en Hyperbel, og Diameteren CE ikke skjærer denne, be- 

 stemmes Linierne HT som Paralleler med Tangenten til den konjugerede Hyperbel i dens 

 Skjæringspunkt med Diameteren CE. 



Da Apollonios saaledes virkelig, om end først efterhaanden og ad en Omvej, hæver 

 sig til den almindeligste Sætning eller Ligning for Kurverne, skal jeg strax her angive denne. 

 Ved dens Cdledelse kunde man for Ligningen (1) benytte 



±((|)"±^') = ^..'. 



der, naar man begge Steder læser øverste Tegn, bliver anvendelig paa det Tilfælde, hvor 

 CB er ombyttet med en Diameter, der ikke skjærer Kurven, men paa hvilken man dog 



Yidensk. Selsk. Skr, G. RæUkc, naturvidensk. og mathcm. .\f(l. HI. 1. "^ 



