66 



afsætter den saakaldte Længde CB = —, medens /' er en anden Konstant. Bestemmer 

 man da Retningen af Linien HT ved Ligning i3), faar man 



-^\^CBL--ACKM) = Ù. HKT, (2b) 



hvor Fortegnene vælges som i il bi, altsaa paa vel bekjendt Maade. Vælger man nu hver 

 Gang blandt de to ved i3i bestemte Retninger for HT den, som er parallel med Tangenten 

 i Linien C^'s Skjæringspunkt med Kurven eller med den konjugerede Hyperbel, faar man 

 Apollonios' Bestemmelse af dennes Retning. 



De Fordele, som denne Form af Ligningen for en Ellipse eller Hyperbel frembyder, 

 ses bedst ved en Omskrivning, som Apollonios vel ikke udtrykkelig opstiller — hvad han 

 af Mangel paa Begrebet "Areal af en uegentlig Firkant» heller ikke i alle Tilfælde kunde 

 — men som netop fremhæver den Omstændighed, han overalt praktisk anvender. Under 

 Punktet H& Bevægelse paa Kurven variere Trekanterne T-fiTJi og i/ Ä'T, medens C-SZ bliver 

 konstant. Den Sum eller Differens af de to første Trekanter, som betragtes i Formel (2bl, 

 vil i hvert enkelt af de betragtede Tilfælde blive Arealet af den egentlige eller uegen t- 

 ligeM Firkant HMCT. Dette Areal bliver altsaa konstant [^-j^CBL). 



To af Siderne i denne Firkant ere faste Diametre, den givne CB og den nye CE. 

 Den modstaaende Side HM til den forste falder paa en af den halveret Korde, den mod- 

 staaende Side HT til den sidste har en bestemt Retning. Af den symmetriske Maade, 

 hvorpaa de to Diametre og de to Rækker Paralleler indgaa i den fundne Bestemmelse af 

 Kurven, vil man da kunne udlede en Relation, hvorved Kurven henføres til den nye Diameter 

 CE paa samme Maade. som den oprindelig var henført til den givne Diameter CB. Denne 

 Udledelse, hvorved det kun har været nødvendigt at tage Hensyn til de Tilfælde, hvor baade 

 CB og CE skjære Kurven, har Apollonios foretaget paa følgende Maade [IsteBog, 50], 



Trekant CBL iFig. 18i er lige stor med Trekant CDE-\, og man har altsaa ifølge 

 vor Omskrivning af (2) 



^) Dette Areal er, som bekjendt, Differensen mellem de to Trekanter, som falde i et Par Topvinkler. 



') Dette, som kan faas ved i Relationen BMCT ^ CBL at lade E falde i E, anforer Apollonios 



CZ CB 

 eden Bevis. Et saadant, som støttes paa, at ^r^r = — ;- , forefindes derimod senere, nemlis i tredie 



^ ' CB CD 



Bogs Sætning I, hvor Sætningen Ijecvttes til videre at vise, at ^BDl = [^LEl. Hvis man da 

 ikke — hvad vi ikke finde tilstrækkelig Anledning til — vil anse et af Entokios anført Bevis for en 

 tidligere Sætning i ferste Bog [43], hvilket netop begynder med det samme Bevis som det i 3die Bog 1, 

 for at A OBL = ^CDE, for ægte, ligger det nær at antage, at Apollonios i 1ste Bog 50 virkelig 

 slutter denne Ligestorhed ved at anvende den samme almindelige Sætning, som han netop 

 er ilærd med at gjøre anden Brug af, paa Grænsetilfældet; thi det er den eneste Maade, hvor- 

 paa Trekanternes Ligestorhed umiddelbart kan indses. I saa Fald tager han sig her en Frihed, 

 som de græske Forfattere ellers vare for forsigUge til i de opstillede Beriser, hvad man navnlig 

 kan se mange Steder hos Archimedes. At man af denne Forsigtighed ikke maa slutte, at de heller 

 Ikke selv saa Forbindelsen mellem Grænsetilfælde og de almindelige Tilfælde, viser sig derved, at de 

 i Reglen anvendte ensartede Beviser paa begge. 



