68 



den endelige Onadannelse [nemlig i 47). idet han dertil umiddelbart anvender den i Lig"- 



ningen (2) udtrykte Hovedsætning. 



\i skulle i Gjengivelsen af delte Bevis holde os til Ellipsen for vedblivende at 



kunne benytte Fig. 18, med hvilken Læserne alt ere fortrolige, og som umiddelbart viser 



Betydningerne af de nye Betegnelser /?', K', M'. Ligning (2) giver 



A HKT = A CBL — A CKM = Trapez [B M) 



AH'K'T = Trapez {EM'] 



Ved Subtraktion faas 



Trapez (K' B) = Trapez iK- M) , 



og ved Subtraktion af Femkanten K' H' S MK faas 



_ SHM ^ A SH'M', 

 eller at > er Midtpunktet af BB'. 



Der er ingen Grund til særlig at dvæle ved de Sætninger [44, 48, 51], hvori Apcl- 

 lonios godtgjør, at det samme, som er bevist om en Ellipse eller en enkelt Hyperbelgren, 

 ogsaa er anvendeligt paa den af de to Hyperbelgrene sammensatte Kurve, naar de Punkter, 

 vi have kaldt B og E, falde paa hver sin af disse. Det har som tidligere bemærket en 

 meget stor Interesse, at denne Almindeliggjørelse er falden Apollonios ind, men ved dens 

 udførelse, hvortil Grenenes Symmetri anvendes, har ingen som helst \ anskehghed været 

 at overvinde. 



Ved den nu vundne Bestemmelse af den faste Retning af Siden BT i den Firkant 

 HMCT (Fig. I8|, som ifølge vor Omskrivning af den i Ligning (2( indeholdte Sætning for- 

 bliver konstant, medens B bevæger sig 

 paa en Ellipse eller Hyperbel, kan denne 

 Sætning udtrykkes saaledes: Den Fir- 

 kant fl^lf CT (Fig. 19), hvis to Sider 

 CM 02 CT falde paa faste Dia- 

 metre i enEllipse eller Hyperbel, 

 medens deres modstaaende Sider 

 HT og BJd falde paa de fra et 

 bevægeligt Kurvepunkt H ud- 

 gaaende Korder, som halveres af 

 disse to Diametre, eller paa disse 

 Korders Forlængelser, har et 

 konstant Areal. Denne Sætning, som for altid at kunne udtales saaledes kræver Brug af 

 uegentlige Firkanter, og som først i tredie Bog bliver bevist for alle Slags Diametre, ville 

 vi kalde den Apolloniske Areal^ætning. 



Fis- 19. 



