69 



Den omvendte Sætning af denne er følgende: Naar en Firkanl rJMCl\ hvis 

 to Sider CM og C Z'' falde paa faste Linier, medens de to andre erc trukne i 

 givne Retninger fra et bevægeligt Punkt //, har et konstant Areal, er del 

 geometriske Sted for //en lîllipse eller Hyperbel. 



Denne omvendte Sætning udtaler Apollonios intetsteds, som han overhovedet ikke 

 udtaler Sætninger gaaende ud paa, at et eller andet geometrisk Sted er et Keglesnit. Naar 

 han derimod i Fortalen til 3die Bog udtaler, at hans Sætninger kunne bruges til Bestem- 

 melse af geometriske Steder, tør man sikkert antage, at det her omtalte, om end ikke 

 ganske i den her anførte Skikkelse, har hørt til disse, og at han altsaa har kjendt denne 

 omvendte Sætning. Indirekte har den i hvert Fald slaaet lil hans Raadighed, naar han 

 først har naaet at omforme en forelagt Bestemmelse af et eller andet geometrisk Sted til 

 den her opstillede; thi den samme Fremgangsmaade, som nylig anvendtes til, naar CB var 

 den givne Diameter, at henføre Kurven til CE og Ordinater parallele med HT, vil i alle 

 Tilfælde kunne anvendes og I alle Tilfælde give de Ligningsformer, ved hvilke Kurverne fra 

 først af ere karakteriserede. 



For ret at forstaa den vigtige Rolle, som den opnaaede Ligningsform, Firk. IJMCT 

 = Konst., kommer til at spille hos Apollonios, kan man sammenholde den med tilsvarende 

 Ligningsformer i sædvanlige Koordinater. Tænker man sig de to faste Diametre tagne til 

 Koordinataxer, kunne H Al og HT betragtes som skraa Koordinater lil disse. Ombytter 

 man dem med sædvanlige Parallelkoordinater, idet HF ==-- x og HQ = y drages parallelt 

 med Axerne, faar man (Fig. 19) 



HMCT = HMP+ HPCQ-\- HQ T, 

 altsaa aæ'^ -f ß.vy + yy"^ = K^ (4) 



hvor a, /?, ;- og K ere Konstanter, der for andre Figurer kunne blive at regne negative. 



Havde man omvendt opgivet en Ligning (4) af første Grad mellem Arealerne x^ , 

 xy, y'^ , hvor x og y betegne Parallelkoordinaler , HF og HQ, falder det fuldstændig ind 

 under de Fremgangsraaader, hvormed vi nu ere blevne bekjendle hos Apollonios, al be- 

 stemme Retningerne af HM og HT saaledes, at ax'^, ßxy, y y'' blive proportionale med 

 Arealerne HMF, HFCQ og HQT, hvorved Ligningen omdannes til den i Arealsætningen 

 givne Fremstilling af Keglesnittene. 



Da nu Overgangen baade frem og tilbage mellem den Apolloniske Arealsælning og 

 Ligning (4) er saa simpel, da endvidere, som vi have set, Apollonios fra den i Arealsæt- 

 ningen givne Fremstilling af el Keglesnit, som den analytiske Geometri fra den i Ligning (i) 

 indeholdte, kan gaa over lil Fremstillingen i det af Axerne dannede retvinklede Koordinat- 

 system, indses det, at den ene Fremstilling i Anvendelserne helt maa kunne træde i Stedet 

 for den anden, saaledes al Apollonios, om end under en forskjellig Form, kan opnaa del 

 samme ved den første, som den analytiske Geometri ved den sidste. I Henseende lil Let- 



