70 



heden af de dertil tjenende Operationer har hver af FremstiUingsformerne sine Fordele, 

 idet man ved i Areaisætningen at bruge et noget mere kompliceret Koordinatsystem har 

 opnaaet en betydelig simplere IJgning. At Apollonios nu virkelig vedblivende bruger Areal- 

 sætningen i Overensstemmelse med disse Betragtninger, som vi her have knyttet til dens 

 Anvendelse i første Bog, ville vi faa bekræftet i det følgende, navnlig ved hans 3die Bog. 



I visse Henseender fører Arealsætningen videre endnu end til en Fremstilling af 

 Keglesnittene ækvivalent med den i et Koordinatsystem med to vilkaarlige Diametre til 

 Koordinataxer. At Midlerne til Overgangen til et Koordinatsystem med et nyt Begyndelses- 

 punkt foreligge, følger nemlig allerede deraf, at en saadan Overgang, som alt bemærket, 

 lader sig iværksætte alene ved Hjælp af de hos Euklid benyttede Arealomdannelser; men 

 mere direkte opnaas det ved , at man tænker sig det konstante Areal af den i Form for- 

 anderlige Firkant HMCT \V\g. 19) udtrykt ved Koordinaterne i et Parallelkoordinatsystem, 

 hvis Axer ere parallele med HM og i7T, som jo i Virkeligheden kunne faa fuldstændig 

 vilkaarlige Retninger. 



Paa denne sidste Maade faar Apollonios ogsaa virkelig i 3die Bog i Sætning 3 og 

 nogle af de følgende Sætninger en Fremstilling af Kurverne, der i visse Henseender svarer 

 til deres Ligninger i et vilkaarligt Koordinatsystem med Begyndelsespunkt paa 



selve Kurven. Lad AB og FE (Fig. 20) være to faste 

 Diametre og HM, H'M' Stykker af Korder, som høre til 

 den første, HT og H' T' Stykker af Korder, som høre til 

 den anden. Da er ifølge den Apolloniske Arealsætning 



HMCT = H'M' CT', 

 hvoraf ved Subtraktion af FM' CT faas 



HMM'P = H'FTT', (6) 



og ved Addition hertil af Parallelogrammet PQ 



QMM'H' = QHTT'. (6) 



Ved den ene eller den anden af disse Ligninger kan, 

 naar H ligger fast. Punktet H' vel stadig opfattes som hen- 

 ført til de to Diametre under en noget ændret Form , men 

 disse Ligninger kunne ogsaa opfattes som en Henførelse til 

 Koordinataxerne HM og HT, der gaa gjennem et vilkaarlig 

 valgt Punkt // af Kurven og kunne have vilkaarlig opgivne 

 Retninger. De to lige store Arealer udtrykkes nemlig let ved Koordinaterne HF og HQ. 

 En anden Ændring af Arealsætningen findes i den umiddelbart foregaaende Sæt- 

 ning 2 af tredie Bog. Vi kunne lettest knytte den til Fig. 18, som, idet IsH'K'T = 

 Trapez (BM'), ved Subtraktion af Trapez (BH') giver 



AGBT = Trapez (LH'), . (5) 



Fif!. 20. 



