71 



en Ligning, der, naar Reglen for uegentlige Firkanter iagttages, ogsaa vil blive anvendelig 

 paa Punktet //. Det bevægelige Punkt //' (eller H] kan her betragtes som henfort, ved 

 Koordinallinier i givne Retninger, til Koordinataxerne BL og CE, som ere en Tangent 

 og en Diameter, der ikke gaar gjennem Røringspunktet. 



Vi kunne dog ikke som ved Arealsætningen i alle Maader sammenstille disse sidste 

 Fremstillinger med de tilsvarende Ligninger i den analytiske Geometri. Fastholde vi 15e- 

 tragtningen af to Linier som Koordinataxer, maa de øvrige faste Linier, hvortil Fiurven iien- 

 førtes, opfattes som Stedfortrædere for dens Konstanter. De ere ogsaa her valgte saaledes, 

 at de i høj Grad simplificere Ligningerne, som reduceres til Ligestorheden af to variable 

 Arealer; men vi kunne ikke her som for Arealsætningen paavise Kjendskab hos Apollonios 

 til de Midler, som vilde udkræves til Bestemmelse af disse Stedfortrædere, naar Konstan- 

 terne i de tilsvarende analytisk geometriske Ligninger vare givne, og hvorved altsaa den 

 modsatte Overgang fra Ligningerne til de tilsvarende geometriske Fremstillinger lod sig 

 iværksætte. Vi kunne derfor ikke her sige, at det ved Bestemmelsen af et geometrisk 

 Sted vilde være Apollonios nok at finde, at det ved at henføres til et Parallelkoordinat- 

 system fremstilledes ved en saadan Ligning mellem Arealer, som analytisk geometrisk 



vilde skrives 



ax'^^ ßxy -{-yy"- ^dæ-\-ey = 0; 



thi for at paastaa, at Apollonios kunde omdanne denne Ligning til den Fremstillingsform, 

 som vi nys bave sammenstillet dermed, maatte vi vide noget om, hvorledes han i delte 

 Tilfælde kunde bestemme Centret, og herom finde vi paa dette Sted intet. 



De Hjælpemidler, som vi her have gjort Bekjendtskab med, staa altsaa endnu til- 

 bage for den analytiske Geometri i Henseende til Bestemmelse af Keglesnit som geometriske 

 Steder; men Indholdet af tredle Bog og Apollonios' egne Oplysninger om, hvortil den kan 

 bruges, ville, som vi skulle se, udfylde denne iVlangel. 



For Nemheds Skyld have vi her slet ikke medtaget Parablen, paa hvilken det 

 dog er aabenbart, at alle de Sætningsformer maa være anvendelige, i hvilke blot ikke 

 Centrum indgaar. De ere i Reglen simplere end dem om Ellipsen og Hyperblen og gaa 

 derfor sædvanligvis forud for disse hos Apollonios. Dette gjælder saaledes om den ved 

 Ligning (2) udtrykte Hovedsætning, som man for at overføre den paa Parablen maa give 

 den nys benyttede Form A II KT = Trapez [BM] (Fig. 18), idet dog Trapezet gaar over 

 til al blive et Parallelogram. Beviset føres [1ste Bog 42] saaledes (Fig. 21 ; se næste Side): 

 BK være den givne Diameter, EM en anden Diameter, HK og //T" Paralleler med Tan- 

 genterne BL og ED. Da er 



A H KT _ KH^ _ BK^ ^ (BM) 

 A EZB ~ ZE'' ~ BZ [BE] ' 



