73 



Femte Afsnit. 

 ApoUonios' 2deii Bog. 



Ved at dvæle saa udførlig ved den første Bog af ApoUonios' Keglesnitslære have vi 

 vundet meget for den rette Forstaaelse af dette store Værk og dermed af hele den antike 

 Keglesnitslære. Ikke blot indeholder første Bog, som rimeligt er, et Grundlag, hvorpaa der 

 bygges videre i de følgende; men Undersøgelserne i første Bog have for at naa deres Maal 

 maattet strække sig saa vidt omkring, at Hovedvanskelighederne ved Indførelsen af særlige 

 Theorier, som den for konjugerede Diametre, allerede der ere overvundne, og at der har 

 været rig Lejlighed til at lære de Hjælpemidler at kjende, som have gjort det muligt dels 

 for ApoUonios' Forgængere, dels for ham personlig at naa de store Resultater, med hvilke 

 vi efterhaanden skulle gjøre Bekjendtskab. 



Dette skulle vi nu først se bekræftet ved Betragtning af anden og tredie Bog, der, 

 som tildels fjerde, endnu blot indeholde en — som ApoUonios siger — »fyldigere og almin- 

 deligeren Fremstilling af tidligere bekjendte Ting. Anden Bog indeholder nemlig for en 

 stor Del saadanne Sætninger og Opgaver om konjugerede Diametre, som ikke kunde volde 

 nogen egentlige Vanskeligheder, naar Hovedsætningerne i første Bog engang vare fundne, 

 og tredie Bog indeholder, foruden et elementær-geometrisk Tillæg om Brændpunkter, nogle 

 Sætninger, deriblandt det alt ved Archimedes omtalte saakaldte «Newtons Theorem», af en 

 saa almindelig Natur, at man vanskelig vilde kunne forstaa, at de kunde naas uden Nutidens 

 Hjælpemidler, hvis ikke allerede Studiet af de gamles Koordinatmethoder og særlig af den 

 Apolloniske Arealsætning havde vist os, at de gamle ogsaa besad Redskaber til Udledelse 

 af saadanne almindelige Sætninger, som ikke knytte sig til enkelte, bestemte Linier i Kegle- 

 snittets Plan. 



I anden Bog er den i første Bog grundlagte Lære om konjugerede Diametre 

 forbunden med Læren om A sy m p to ter og om konjugerede Hyperbler. Vi maa da først 

 og fremmest se paa de Hovedsætninger, hvorpaa Indførelsen og Vigtigheden af disse Be- 

 greber, blandt hvilke dog det sidste er defineret i Slutningen af første Bog, grunder sig. 



En Hyperbels Asymptoter bestemmes først i Forhold til en vilkaarlig Diameter 

 AC (Fig. 22), som Linier fra Centrum, der paa Tangenten i dennes Endepunkt C til begge 



Sider for dette Punkt afskjære Stykker BC = CD = -^) hvor vi ved b betegne den alt 



Vidensl;. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidcnsk. og matliem. Atil. III. 1. |0 



