74 



i første Bog definerede Længde IVp.a] af den med BD parallele Diameter. Det vises 

 [2den Bog 1], at de saaledes bestemte Linier AB og AD ikke kunne skjære Kurven, og 

 dernæst [i 2], at der ikke gjennem Centrum .1 kan lægges Linier, som falde nærmere ved 

 Hyperblen uden at skjære den. Da Asymptoterne herved ere blevne fuldkommen bestemte 

 paa en af Diameteren AC uafhængig Maade, nemlig som de Linier gjennem Centrum, der 

 falde nærmest ved Hyperblen uden at skjære den, faar man de samme Asymptoter, hvilken 

 Diameter AC man end gaar ud fra, og Asymptoterne maa altsaa (Sætning 3j have de samme 



Egenskaber med Hensyn til hvilket som helst Par konju- 

 gerede Diametre som i Forhold til dem, ved hvis Hjælp de 

 først bestemtes [i Ij. 



Beviserne for de to Sætninger jl og 2J falde, trods 

 deres geometriske Form, nøje sammen med de analytisk- 

 geomelriske, som kunde føres ved Henførelse af Hyperblen 

 til Diameteren AC som Abscisseaxe ved Ordinater parallele 

 med Tangenten i C. Til Gjengivelse af det første kan man 

 benvtte Centralligningen, som vi kunne skrive 





(I) 



som kommer i Strid med den Ligning, man vilde faa ved 

 at antage, at et Punkt af en af Asymptoterne 



Fis. 22. 



«•2 = — a;2 



(2) 



skulde have samme Koordinater M. I Beviset [i 2] for, at ingen Linie gjennem .4 kan falde 

 Kurven nærmere end Asymptoterne uden at skjære den, antages det, at man har en Linie 

 AN^ som falder i samme Vinkel mellem Asymptoterne som Kurven. Denne Linie maa 

 (Fig. 22) skjære det Stykke CJS af en Parallel gjennem Diameterens Endepunkt C med den 

 ene Asymptote, som falder paa samme Side af Tangenten i C som Rurven. Nu kan CiS 



ikke skiære Kurven i andre Punkter end C, hvad der følser af. at Lisninsen v- = nx-^- —x- 



for Kurven og y- = — x- for Paralleler med Asymptoterne ikke kunne finde Sted samtidig 



for a;>0. Men da maa Linien A y skjære Kurven. 



") Beviset er dos lidt kunstisere end i deone alsebraiske Form, idet den anvendte Lisnins egenllig er 



^^ = f^^'(=-S^'^" 



X' -^ 3^' 



hvor x' og x" ere Abscisserne regnede fra Diametrens lo Endepunkter, .r er da '-_ , og man 



kan ikke have æ' = æ'x", da ar"^a:'. 



