75 • 



Bestenimelsen af en Hyperbel ved sine Asymptoter og et l'uukt (-ij og den Sailning, 

 at de Stykker EF og ///, som afskjæres mellem Asymptoterne og Kurven, ere lige store 

 [8], haves nu umiddelbart. Ved Subtraktion af l>igning (1) for Kurven fra Ligning (2| for 



Asymptoterne faas fremdeles, at (y' — y)(y'-\-y) = i-^} , bvor y og y' ere de til samme 



Abscisse hørende Ordinater, eller at (Fig. 22) Rektanglet EF. FI af de Stykker, som afskjæres 

 mellem Asymptoterne og et Kurvepunkt paa rette Linier parallele med en og samme Tangent, 

 er konstant [10]. Heraf udledes atter [i II] ved ligedannede Trekanter, al det samme er 

 Tilfældet med Rektanglet FK . FL af Stykker, der paa samme Maade afskjæres paa en 

 Række parallele Linier, der ikke ere parallele med en Tangent. Figur 22 giver nemlig 



F K.FL _ CA^ _ a' 

 EF. Fl ~ BC ~ "P ■ 



Ligeledes den med vor sædvanlige Form for Asymptoteligningen nærmere stemmende 

 Sætning, al et Parallelogram, der begrænses af Asymptoterne og Paralleler med samme 

 gjennem el bevægeligt Kurvepunkt, har konstant Areal, fremkommer [i 12] som en simpel 

 Omskrivning af Sætning 10^), og de Midler, som saaledes ere l'orhaanden, give let, saavel 

 at Linier parallele med en Asymptote kun have ét Skjæringspunkt [13], som Asymptoternes 

 ubegrænsede Tilnærmelse til Kurven [I ■'i]. Ligesaa ringe Vanskelighed volder det at bevise, 

 at en Hyperbels to Grene have de samme Asymptoter [lo], og at finde, hvilke rette Linier 

 der skjære begge Grenene. 



Konj ugere de Hyperbler ere, som alt bemærket, allerede definerede i første 

 Bogs sidste Sætning [54], nemlig som saadanne lo fuldstændige Hyperbler, som have et 

 Par baade i Beliggenhed og Størrelse bestemte konjugerede Diametre fælles, idet den enes 

 første (o: skjærende) Diameter er den andens anden Diameter og omvendt. Denne Defini- 

 tion , der knytter sig til et enkelt Par konjugerede Diametre, faar imidlertid først virkelig 

 Værdi derved, al de to Hyperbler have samme Egenskaber med Hensyn til el hvilkel som 

 helst Par konjugerede Diametre. Dette vises i 2den Bog Sætning 20 ved Anvendelse af 

 de i første Bog givne Tangentbeslcmmelser, for hvilke vi have gjort Rede i Slutningen af 

 tredie Afsnit. 



I denne Sætning vises der nemlig først, at, naar (Fig. 23 paa næste Side) to 

 konjugerede Hyperbler ere bestemte ved de konjugerede Halvdiametre O A (= },a] og 

 OB (= I i), den Diameier OQ, som er parallel med en Tangent PM til den ene, vil 

 træffe den anden i et Punkt Q, hvis Tangent QN er parallel med Diameteren OP. Man 

 har nemlig, idel RP og 5Q ere de Ordinater til P og <?, som hore til hver sin af de 

 givne Diametre, (ifølge Ligning Hl i tredie Afsnit) 



') Beviset kunde ogsaa være bygget paa Sælniiig S. Asymptoleligniiigeii or for uvrigl i Virkeligliedeii 

 klin et specielt 'rilfælde af den i forrige Afsnit omtalte Arcalsictning. 



10* 



