77 



ind paa den nærmere Sammenhæng mellem de øvrige Keviser eller Losninger al' Opgaver, 

 som udgjøre Resten af anden Bog, og som for en stor Del blot give en vidllwriigere Frem- 

 stilling af det samme, som findes herom i moderne Lærebøger. Vi skulle blot fremdrage 

 enkelte Træk, som have lidt større Interesse. 



I Sætning 23 vises, at Produktet af de Stykker, som afskjæres mellem en Række 

 parallele Liniers to Skjæringspunkter med en Hyperbel og deres ene Skjæringspunkt med 

 den konjugerede Hyperbel, er konstant og dobbelt saa stort som det, man vilde faa ved at 

 ombytte den første Hyperbel med Asymptoterne [smlgn. 10 og II], der ere fælles for 

 begge Hyperbler [17]. I 29 vises, at Tangenterne i Endepunkterne af en Korde skjære 

 hinanden paa dennes Diameter. 



Fra Sætning 44 af løser Apollonios Opgaver vedrørende fuldstændig tegnede Kegle- 

 snit, hvilke benyttes, i del mindste tildels, ved selve Konstruktionerne. I Modsætning til, 

 hvad han gjorde ved de vanskeligere Opgaver, han havde at løse i Slutningen af første 

 Bog, anser han det her ikke for overflødigt forud for den synthetiske Fremstilling af Løs- 

 ningen at meddele den Analysis, som fører dertil, idet han begynder med at lænke sig 

 Opgaven løst. Idet Beviset for Løsningen da bliver kort og væsentlig slutter sig til den 

 forud givne Analysis, kommer det derved ligesom denne kun til al godtgjøre, al Opgaven 

 maa løses paa den og den IMaade , hvis den overhovedet kan løses. Det er ogsaa paa 

 nærværende Sted fuldkommen beretliget at nøjes hermed, da de stillede Opgaver ere saa- 

 danne, om hvilke det alt forud er vist, at de have Opløsninger. Naar Apollonios saaledes, 

 efter [i 44 og 45] at have bestemt Diametre og Centrum, [i 47] bestemmer Axerne i en 

 Ellipse eller Hyperbel ved en koncentrisk Cirkel, der gaar gjennem et Punkt af Kurven, saa 

 beror hans Begrundelse af, at denne Cirkel vil have flere Skjæringspunkter med Kurven, 

 paa al, som han i sin Analysis har forudsat bekjendl, Axerne exislere, og dette har han, 

 som vi tidligere have set, godtgjort som Led i Løsningerne [53 og 54 i Isle Bog] af de 

 Opgaver, al lægge Keglesnit med en given Diameter og el givet tilhørende Kordesystem 

 og Parameter ind paa en Omdrejningskegle, idet han nemlig da begyndte med at bestemme 

 saadanne Kurvers ene Axe og tilhørende Parameter. Der vilde saaledes i Apollonios' Ud- 

 vikling være et HuP), hvis man vil forkaste den Opfattelse af Tankegangen i første Bog, 

 som vi have hævdet, og paaslaa, al del først er her i anden Bog, al han kommer til 

 Keglesnittenes Axer. 



Derimod er der intet at indvende imod, at Apollonios først her i anden Bog [i 18] 

 beviser, at en Ellipse eller Hyperbel ikke kan have mere end ét Par Axer, selv om et 



') Dette har ogsaa Housel lagt Mæilie til; men efter lians Opfattelse (LiouvilJe, 2den Uækkc, III, 

 S. 163) fyldes dette Hul furst i 7de Bog, hvorved alle de forcgaaende linger komme til al hvile paa 

 el lasere Grundlag, end Apollonios ellers giver Grund til al anUige. 



