80 



som de i forste og andet Afsuil, knytte sig til saadanne særlige Linier som Diametre og 

 Asymptoter, men derimod antage samme Natur som de, der i den analytiske Geometri 

 knytte sig til Fremstillingen ved den almindelige Ligning af anden Grad, eller de, der ligge 

 til Grund for Keglesnittenes plangeomelriske Behandling i den moderne Projektivgeometri. 

 Dette gjælder særlig om de Sætningsgrupper i Bogen, som vi nøjere skulde gjøre Rede for 

 i dette Afsnit, og hvortil de af Apollonios fremhævede Anvendelser maa have knyttet sig. 



De i vort fjerde Afsnit omhandlede Omdannelser og Udvidelser af Arealsætningen 

 flndes i 3die Bogs Sætninger 1 — 15. At der hertil behøves saa mange Sætninger, bliver 

 forstaaeliat derved, at ej blot selve Hovedsætningen, men ogsaa Omdannelserne skulle udvides 

 fra deres oprindelige Skikkelse til den. de antage, naar de forskjellige deri indgaaende 

 Punkter ligge paa forskjellige Hyperbelgrene, eller naar de i dem benyttede Linieretninger 

 ikke ere parallele med Tangenter til selve Rurven, men kun med Tangenter til den konju- 

 gerede Hyperbel. En virkelig formel Fuldstændighed opnaas for øvrigt kun for selve Areal- 

 sætningens Vedkommende; men dens Omdannelser ere ogsaa, som vi have set, saa umid- 

 delbare, at de kunne staa til Raadighed ogsaa i Tilfælde, hvor de ikke særlig efter- 

 vises, ja Apollonios gjør endog selv i el senere Bevis [for 23] Brug af den første Gang i 

 3 fremsatte Omdannelse i et Tilfælde, hvor han ikke udtrykkelig har eftervist den. Det 

 eneste, som en moderne Læser mangler for selve Hovedsætningens Vedkommende, er en 

 saadan sammenfattende Udtalelse, som vi i fjerde Afsnit have givet, af den enkelte 

 almindelige Sætning, hvis Bevis dog i hvert Fald maatle komme til at lyde noget for- 

 skjelligt i de forskjellige Tilfælde. At Apollonios imidlertid trods Udstykningen har havt 

 Øje for Enheden, fremgaar dels af, at Sætninger og Beviser udtrykkes saa ensartet, som 

 Omstændighederne tillade, dels af, at han for Hovedsætningens Vedkommende faar alle Til- 

 fælde med. Det samme gjælder — paa en uvæsentlig Undtagelse nær — om de følgende, 

 ligeledes udstykkede, almindelige Hovedsætninger, som dernæst udledes af Arealsætningen. 



Den første af disse er det saakaldte Newton'ske Theorem eller, som vi i andet 

 Afsnit |S. 4li kaldte den. Potenssætningen. Vi saa, at allerede Archimedes kunde forud- 

 sætte den bekjendt i det Omfang, som den kan antage, naar man ikke betragter mere end én 

 Hyperbelgren. Apollonios beviser den og udstrækker den til ogsaa at gjælde om to sammen- 

 hørende Hyperbelgrene, samt behandler specielle Tilfælde. Den gaar ud paa, at, naar man 

 (Fig. 25) gjennem vilkaarlige Punkter Z af Planen i opgivne Retninger drager 

 Linier, hvorpaa et Keglesnit afskjærer Korderne KK og XT, Forholdet 



ZD.ZT ^ 



ry T- — Tjrj^ er konstant. Den udvikles i 16 — "23. 

 ZA . ZA 



Idet vi først, som Apollonios i IT og som vor Figur, der giver Oplysning om de 

 brugte Betegnelser, forudsætte, at der kan trækkes Tangenter til Kurven i de opgivne Ret- 



