82 



Forud for de almindelige Sætninger beliandier Apollonios [16 — 20] nogle al' de 

 simplere Tilfælde, livor den ene Sekant ombyttes med en Tangent. Derimod finder han 

 det for Ellipsens Vedkommende overflødigt særlig at behandle det Tilfælde, hvor Sekanterne 

 ere parallele med et Par konjugerede Diametre, i hvilket hans almindelige Bevis dog bliver 

 ubrngeligl; men Sætningen er da en umiddelbar Følge af Ligningen for Kurven henført til 

 disse Diametre. Naar han dog behandler dette Tilfælde for Hyperblens Vedkommende [i 22], 

 beror det formodentlig paa, at den mindre tilvante Behandling af de to Hyperbelgrene her 

 gjorde større Krav paa hans Opmærksomhed eller har skullet fremhæves som noget nyt. 



Til Anvendelserne af Potenssætningen paa det Tilfælde, hvor Korderne ere parallele 

 med konjugerede Diametre, slutter sig endnu nogle Sætninger [24 — 29] M j der ikke i og 

 for sig, hverken ved deres Indhold eller Beviser, have Krav paa saa stor Opmærksomhed 

 som de andre Sætninger i 3die Bog. Det ligger da nær at opfatte dem som Hjælpesæt- 

 ninger, der skulle benyttes ved de geometriske Stedbestemmelser, hvortil Bogen i det hele 

 skal være nyttig. I denne Formodning er jeg bleven bestyrket under det Forsøg paa at 

 efterspore disse Stedbestemmelser, for hvilket jeg skal gjøre Rede i næste Afsnit. Da jeg 

 der faar Lejlighed til at anføre Sætningerne, skal jeg forhigaa dem her. 



Af langt større Betydning end disse sidste ere de Sætninger, som i 30 — åO atter 

 udledes af Arealsætningen, og som kunne sammenfattes i de to Hovedsætninger, der i den 

 moderne Polartheori bestemme Punkter af Polaren til et udvendigt eller indvendigt Punkt. 

 Den første af disse to Bestemmelser indeholdes i den Sætning, at naar man fra et 

 Punkt trækker en Sekant og to Tangenter til et Keglesnit, vil den paa Se- 

 kanten afskaarne Korde deles harmonisk af Punktet og S kjæ ringspunktet 

 med^Røringskorden. 



Det almindelige Bevis for denne Sætning, der allerede i første Bog er bevist i det 

 Tilfælde, hvor Sekanten er en Diameter, føres [i 37] paa følgende Maade. 



Der drages — som paa Fig. 26, hvor det er uvæsentligt, at CI er en Axe — 

 Diametre CI og AI til det givne Punkt C og til det ene Røringspunkt A^ og, for at 



') Maaske er del Tilføjelsen af disse Sætninger, som liar bibragt Housel (Liouville, 2den Række 3. 

 S. 1G8) den underlige I<"orestilling, ai Apollonios kun beviser Newtons 'llieorem i det Tilfælde, hvor 

 Koordinatretningerne ere konjugerte. Havde dette været Tilfældet, vilde Fremkomsten af det omtalte 

 Theorem, som nu netop interesserer ved sin store Almindelighed, ikke have Krav paa synderlig 

 Opmærksomhed. En senere Ytring viser, at Housel opfatter de Sætninger, hvori Apollonios opstiller 

 og beviser de mere omfattende Kormer for Theorcmet, som Hjælpesætninger til hans tievis for den 

 snævre I<'orm, hvori han ser liesultalet af Undersøgelsen. Hvor urigtig denne Opfattelse er, ses 

 blandt andet af, at netop denne snævre l'orm som Grænsetilfælde unddrager sig det almindelige 

 Bevis. At de gamle lagde Vægt paa den almindelige Sætning, ses ogsaa af, at den er benyttet af 

 Archimedes i det fulde Omfang, som den kunde liave, saa længe man kun betragtede én Hyperbelgren. 



