84 



Sætninger. Al Apollonios dog fuldkommen rigtig bar opfattet deres Uelydniug som Grænse- 

 tilfælde af disse, ses af den Maade, hvorpaa de anbringes i denne Sætningsgruppe. 



Til I'olartheorien iienbører endnu Sætning 44, som gaar ud paa, at et udvendigt 

 Punkts Polar med Hensyn til en Hyperbel er parallel med to af de Linier, som forbinde 

 Skjæringspunklerne mellem Tangenterne fra Punktet og Asymptoterne. Denne Sætning er 

 adskilt fra de andre Polarsætninger, fordi der ved dens Bevis benyttes den først i 43 beviste 

 Sætning, at en bevægelig Tangent til en Hyperbel paa Asymptoterne afskjærer Stykker, som, 

 regnede fra Centrum, danne et Rektangel af konstant Areal. 



Den sidstnævnte Sætning hører til en lille Sætningsgruppe 41 — 43, som ikke staar 

 i nogen anden Forbindelse med IJogens tidligere Indhold end den her anførte, men som 

 fortjener en særegen Opmærksomhed, da den giver, hvad vi med et moderne Navn kunne 

 kalde de forskjellige Keglesnits Tangentfrembringelse. 



Da det ad anden Vej kan paavises, at de gamle virkelig have gjort en med dette 

 Navn stemmende Anvendelse af disse Sætninger, medens de øvrige Sætninger i tredie Bog 

 nærmest have at gjøre med Keglesnittene som Punktfrembringelser eller Steder for Punkter, 

 skulle vi opsætte den nærmere Omtale af denne lille Sætningsgruppe til et senere Afsnit 

 (15de), hvor vi kunne sætte den i Forbindelse med dens Anvendelser. 



Ligeledes for den næste Sætningsgruppe 4 5 — 52, som indeholder de simpleste 

 Egenskaber ved Ellipsens og Hyperblens Brændpunkter, og som ikke staar i nogen 

 anden Forbindelse med Bogens øvrige Indliold, end at den er bygget paa. den af alle dennes 

 andre Sætninger uafhængige Sætning 42, ville vi gjøre Rede i et særligt Afsnit (16de) om 

 Keglesnittenes Brændpunkter. 



Jeg har Indtrykket af, at disse lo Sætningsgrupper nærmest kun have faaet Plads i 

 tredie Bog, fordi der ikke var nogen anden mere passende Plads til dem, idet da den her 

 omtalte Forbindelse mellem en enkelt af Sætningerne [43] og Bogens øvrige Indhold er 

 benyttet som Anledning til ogsaa at medtage de andre. Tillige forekommer den Omstændig- 

 hed, at der, som \i skulle se, i disse Grupper i faa Sætninger gaas lige løs paa de simpleste 

 og derfor vigtigste Egenskaber, mig at lyde paa, at her ikke er Tale om at gjøre noget 

 nyt gjældende, men om at faa nogle bekjendte, men vigtige Resultater med. 



Derimod maa jeg foreløbig opsætte et Forsøg paa at forklare, hvorfor Sætnings- 

 gruppen 53 — 56 er opsat til Bogens Slutning. Efter sit Indhold slutter den sig nemlig 

 ganske til Bogens første Sætningsgrupper, Arealsætningen, Potenssætningen og Polarsæt- 

 ningen, idet den behandler Keglesnittenes Frembringelse som geometriske Steder 

 for Skjæringspunklerne mellem de til hinanden svarende Linier i to projek- 

 tive Bundter. Dette Grundlag for den moderne projektive Geometris Bestemmelse af 

 Keglesnittene som geometriske Steder for Punkter godtgjøres virkelig i al Almindelighed, 

 dog saaledes at Bundternes Projektivitet er udtrykt paa en bestemt Maade, nemlig ved den 



