85 



simple Kelation, som linder Sted melleiii de l'iinktrækker, som de bestemme paa Linier, 

 der gjennem hvert af de faste Punkter i Bundterne erc trukne parallele med Tangenten i 

 det andet; men denne bestemte .Maade at udtrykke Projekti\iteten paa kan rigtignok have 

 medført, al Anvendeligheden blev langt ringere, end naar man nu ved at sige, at Bundlerne 

 ere projektive, i dette Ord medbringer alle de Egenskaber ved Projektiviteten, som den 

 moderne Geometri forudsætter bekjendte. 



Lad (Fig. 27) ^ og C være de faste Punkter, 

 A B og CB Tangenterne i samme og CP og A Q 

 Paralleler med disse ; lad endvidere 31 være et 

 bevægeligt Punkt af Keglesnittet, som ved A3JF 

 og CMQ forbindes med de faste Punkter. At de 

 af disse Linier dannede Bundter, hvori Tangen- 

 terne svare til Linien AC, saaiedes at F falder i 

 C, naar Q fjerner sig i det uendelige, og Q falder 

 i A, naar F fjerner sig i det uendelige, ere pro- 

 jektive, kan da udtrykkes ved 



CF.AQ = konstant. 



Denne Relation er det, som ApoUonios 

 beviser i bi for det Tilfælde, hvor Kurven er en 

 Ellipse, en Parabel eller en enkelt Hyperbelgren, 

 i 55 for det, hvor A og C falde paa hver sin af 

 to sammenhørende Hyperbelgrene, medens 31 be- 

 væger sig paa en af dem, og i .56 for det Tilfælde, hvor A og C ligge paa den ene 

 Hyperbelgren, medens 31 bevæger sig paa den anden. 



I Hovedsagen er Beviset følgende. Naar man gjennem 31 drager Korden 31 y 

 parallel med AC, og denne skjærer Tangenierne i 5 og i? , bliver RN = 31 S, fordi 

 Skjæringspunktet med de parallele Korders Diameter er fælles Midtpunkt for S R og A'Ji. 



RC-^ 



Fig. 27. 



Det ifølge Potenssælningen konstante Forhold _ 



Il A . H 31 



benytter Figurens ligedannede Trekanter, omdannes saaiedes: 



RC^ _ RC-' _ BC^ SA^ RC_ 

 RN.R31 ~ 31S.R3I ~ BA ' 31 S ' RJT ~~ 



Kaldes den konstante Værdi heraf x, faas 



BA 



kan altsaa, idet man tillige 

 BC CF.AQ 



BA 



A C 2 



CF.AQ 



BC 



åC\ 



og Sætningen er da bevist. 



