92 



Ændring af den opgivne Konstant regne Afstnndeile i samme Fletninger som paa Fig. 28, 



saa man faar 



_ MB,. MS _ MR. EN 



^ ~ AE. RB "^ AE. RB ' 

 hvor Å er en given Konstant. Man maa derpaa søge at bestemme et r(eglesnit i Overens- 

 stemmelse med den beviste Sætning, og vel at mærite foretage Bestemmelsen saaledes, at 

 man derefter synthetisk kan gjennemføre Beviset for , at det fundne Keglesnits Punkter 

 virkelig for den opgivne Værdi af Å tilfredsstille den opgivne Betingelse; thi paa Forhaand 

 vides det ikke, at det geometriske Sted altid bliver et Keglesnit. 



Førend vi nu nærmere gjennemføre dette, ville vi dog søge at sikre os, at vi 

 virkelig ere paa rigtigt Spor efter den antike Bestemmelse af Stedet til flre Linier^). 



Først have vi ved at tage Beviserne for Sætningerne 54 — 56 i Apollonios' Iredie 

 Bog lil Udgangspunkt, sikret os, at den Brug, vi have gjort af Potenssætningen og 

 videre skulle gjøre af de dertil knyttede Bestemmelser af Værdien af det konstante Forhold, 

 er en saadan, hvormed Apollonios var fortrolig. 



Efterat jeg, idet jeg saa udelukkende som muligt holdt mig til de gamles egne Skrifter, havde gjen- 

 nemført den her og i det følgende Afsnit fremstillede Restitution af de gamles Bestemmelse af 

 Stedet til ßre Linier, har jeg prøvet denne ved en Sammenstilling med den Bestemmelse af dette 

 Sted, som findes i Begyndelsen af Sectio V af Newtons Principia; thi vel tilsigter Newton ikke 

 en saadan Restitution, men idet han med sit dybe Kjendskab og sin vel bekjendte Kjærlighed til de ■ 

 gamles Skrifter udtrykkelig søger Grundlaget for sin Bestemmelse hos Apollonios, er der nogen 

 Rimelighed for, at han i meget maa være slaaet ind paa de samme Veje, som Apollonios har 

 villet bane. 



Det har da vist sig, at Newton har ført de selvsamme Beviser for Sætningen om den ind- 

 skrevne Firkant, baade naar denne er et Trapez, og naar den har en vilkaarlig Form, som vi her 

 og i det følgende Afsnit tillægge de gamle. Derimod gaar Newton noget anderledes til Værks i 

 Beviset for, at Stedet til fire Linier altid er et Keglesnit, og i den dertil knyttede Bestemmelse af 

 Keglesnittet. Det første faar han ved at støtte sig paa , at et Keglesnit er fuldkommen bestemt ved 

 5 Punkter, hvorefter der foreligger rigelige Midler til den nøjere Bestemmelse af Stedet. Da Apol- 

 lonios i fjerde Bog selv beviser, at to Keglesnit højst skjære hinanden i 4 Punkter, benytter 

 Newton herved virkelig ingen Sætning, som var ubekjcndt for Apollonios. Da det imidlertid særlig 

 er tredie Bog, der skal benyttes til Bestemmelse af det omtalte geometriske Sted, og man ikke 

 behøver denne Bogs nøjere Undersøgelser, naar man først gaar ud fra, at Kurven er fuldkommen 

 bestemt ved 5 Punkter, tror jeg ikke, at Newtons Bestemmelse falder sammen me d de gamles. De 

 er en omvendt Fremgangsmaade, sorh vi i det følgende tillægge de gamle, og som i stort Omfang 

 statter sig paa A|iOllonios' tredie Bog. Vi antage, at de gamle have knyttet Beviset for, at Stedet 

 bliver et Keglesnit til den virkelige Bestemmelse af dette Keglesnit. Dennes Gjennemførelse viser 

 nu vel, at et saadant Keglesnit er bestemt ved fem Punkler, men kun ved at vise, hvorledes 

 det er bestemt. 



Lignende Grunde i Forbindelse med flere, for hvilke vi senere skulle gjøre Rede, hindre 

 os i at bygge vor Restitution af de gamles Bestemmelse af Stedet til flre Linier paa en Konstruktion 

 af en Ellipse gjennem fem Punkter, som findes hos Pappos. Ogsaa med denne Konstruktion 

 stemmer den dog dels deri, at den beror paa Anvendelse af Potenssætningen, dels deri, at det Til- 

 fælde, hvor to af Linierne — hos Pappos to af Forbindelseslinierne mellem de fem Punkter — ere 

 parallele, forst behandles særskilt, hvorefter den almindelige Opgave føres tilbage dertil. 



