93 



Derimod kunde det syues betænkeligt, at man ad den Ijetraadte Vej kun taar 

 bestemt Stedet til fire Linier, naar disse danne et Trapez. Heri haves en Opfordring til 

 at forsøge, om man ikke kunde naa videre ved andre Anvendelser af Sætninger i Apol- 

 lonios' tredie Bog. Dette lader sig imidlertid næppe gjennemføre i det mindste ikke paa en 

 tilstrækkelig simpel Maade. Derimod er det — som vi skulle se i det følgende Afsnit — 

 ikke vanskeligt at omdanne den Bestemmelse, iivorved en Kurve er defineret 

 som Sted til fire vilkaarlige Linier, til en saadan, hvorved den paa samme 

 Maade henføres til Siderne i et Trapez. Idet denne Omdannelse udføres ved Midler, 

 som vare fuldstændig bekjendte før Apollonios' Tid, har der i denne Henseende intet været 

 for Apollonios at fuldslændiggjøre. Men idet Forudsætningen for, at denne Omdannelse 

 skal gjøre fuld Nylte, er, at man fuldstændig kan behandle Opgaven, naar Linierne danne 

 et Trapez, opnaa vi fuld Overensstemmelse med Ytringerne i Apollonios' Fortale, naar det 

 blot kan paavises, at Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, som danne et 

 Trapez, delvis kunde gjennemføres ved Hjælp af, hvad der var kjendt før 

 Apollonios' Tid, men først fuldstændig ved det, som findes i Apollonios' 

 tredie Bog. 



Hvad det var, man savnede før Apollonios' Tid, bliver lydeligt ved Forbindelsen 

 mellem Stedet til fire Linier og den omvendte Sætning om den indskrevne Firkant. I Over- 

 ensstemmelse med denne Sætning skulde det søgte Sted være et Keglesnit omskrevet om 

 den af de fire Linier dannede Firkant — det være sig nu , at denne er et Trapez eller 

 ej — . Dette er ogsaa efter den moderne Opfattelse altid Tilfældet. Idet Grækerne derimod 

 betragtede en enkelt Hyperbelgren som et fuldstændigt Keglesnit, hvad den endnu er ogsaa 

 efter Apollonios' Definitioner og Udtryksmaade, har i det Tilfælde, hvor det geometriske 

 Sted efter vor Opfattelse vilde være en fuldstændig Hyperbel, den ene eller den anden af 

 dennes Grene udgjort en saadan selvstændig Del deraf, som de kunne have nøjedes med 

 at betragte. Hvilken af Grenene det da skulde være, har været afhængig af en nøjere 

 Bestemmelse, som allerede var nødvendig, naar Stedet ikke skulde være sammensat af de 

 to fuldstændige Keglesnit, hvilke man nu vilde faa som svarende til Værdierne 4z^ af Kon- 

 stanten. Denne nøjere Bestemmelse kan muligvis have beslaaet i, at den konsUinte Værdi 

 af Forholdet bestemtes ved et Punkt af det søgte Sted, gjennem hvilket da ogsaa det Kegle- 

 snit eller blot den Hyperbelgren, som man netop vilde opfatte som Stedet til fire Linier, 

 skulde gaa. 



For nu at bevise, at en saadan Hyperbelgren, som ikke gaar gjennem alle Vinkel- 

 spidser i Firkanten, kan være Sted til de fire Linier, og altsaa ogsaa for at bestemme 

 det Sted, som svarer til en Værdi af Å, der fører til en saadan Hyperbel, er det nødvendigt, 

 at man kjender Hyperbelgrenens Forbindelse med den anden Gren af samme 

 fuldstændige Kurve, og navnlig, at man kjender de dertil svarende Udvidelser af alle 



