94 



de Sætninger og Bestemmelser, som benyttes i Beviset for Sætningen om den indskrevne 

 Firkant og ved den omvendte Bestemmelse af saadanne Steder. 



Af Fortalen til ApoUonios' fjerde Bog') ses det nu vel, at andre l'f»r ham have 

 betragtet sammenhørende Hyperbelgrene og havt Øje for deres Betydning i Undersøgelser, 

 der, som vi skulle vise i niende Afsnit, i det mindste staa Bestemmelsen af Stedet til fire 

 Linier nær; men den fuldstændige Gjennemførelse af de herhen hørende Undersøgelser og 

 Beviser er sikkert ApoUonios' Værk. De Grunde, som bringe os til at gjøre dette gjældende, 

 skulle vi samle her, hvor vi gjøre udtrykkelig Brug deraf. 



At ApoUonios om sammenhørende Hyperbelgrene bringer rmget nyt og fuldstæn- 

 digere end det, der hidtil var bekjendt, siges udtrykkelig i den første Fortale-). Ordene 

 heri om den fyldigere og almindeligere Bearbejdelse i første Dog sigte vel tillige til et 

 enkelt Keglesnits Egenskaber; men i det mindste for de plangeometriske Egenskabers Ved- 

 kommende bringer en Sammenligning med, hvad der findes bos Archimedes til fortrinsvis 

 at søge Almindeliggjørelsen paa de sammenhørende Hyperbelgrenes Omraade, samt maaske 

 i den allerede i den Bog medtagne første udvidelse af Arealsætningen, som, sammen med 

 de yderligere Udvidelser i tredie Bog, netop benyttes til at udstrække Potenssætningen og 

 Polarsætningen til den af to Hyperbelgrene sammensatte Kurve. Til disse forskjellige Ud- 

 videlser, der optræde som særlige Sætninger, sigte vistnok Fortalens Ord om de nye og 

 mærkelige Theoremer, som undes i tredie Bog. 



Paa at Studiet af sammenhørende Hyperbelgrene var noget nyt hos ApoUonios, 

 tyder ogsaa den Omstændighed, at han trods den Fuldstændighed, hvormed Overensstem- 

 melsen mellem den deraf sammensatte Kurve og et enkelt Keglesnit eftervises, altid vedbliver 

 at omtale dem som to indbyrdes uafhængige Kurver. Han vedbliver hermed trods den 

 Vidtløftighed, som derved bliver nødvendig for at faa disse Udvidelser, der altid følge efter 

 Sætningerne om de enkelte Keglesnit, med, og som vilde undgaas, hvis man fra først af 

 havde sammendraget Sætningerne om de to Hyperbelgrene med dem om et enkelt Kegle- 

 snit, og derpaa i den videre Udvikling havde bygget paa de saaledes almindeliggjorte Sæt- 

 ninger. Denne Vidtløftighed staar i en stærk Modsætning til den Behændigbed, hvormed 

 han formaar at sammenfatte Sætninger og Beviser om en Ellipse, en Parabel og en enkelt 

 Hyperbelgren. Dette sidste kunde han gjøre, fordi Fællesbegrebet Keglesnit og dertil 

 knyttede Undersøgelser og Bearbejdelser \are ham overleverede. Var der derimod, som vi 

 antage, noget nyt at gjøre gjældende angaaende Egenskaber ved de forbundne to Hyperbel- 

 grene, er det let at forstaa, at dette fandt sin naturlige Plads i tilføjede Udvidelser af de 

 forud bekjendte Sætninger om enkelte Keglesnit. 



M Se Tillæs I. 

 =) Se Tillæa I. 



