95 



Den her roi-fægtede Anskuelse, der, som \i skulle se, yderliiieru liekræl'tes ved de 

 Oplysninger, som gives i den nys citerede Fortule lil Ijerde Bog, giver nu en Forklaring 

 af, hvorfor Apollonios kunde behandle Stedel lil fire Linier fuldstændigerc end hans For- 

 gængere. Deuue Forklaring er saa simpel og stemmer saa godt med alle andre bekjendle 

 Omstændigheder, at man endog omvendt derfra faar el nyt og vigtigt Argument for, al 

 Udvidelserne af Sætningerne om Keglesnit til den uf lo sammenhørende Hyperbelgrene 

 sammensatte [vurve virkelig tilhøre Apollonios. 



Det fremsatte Bevis for Sætningen om del i el Keglesnit indskrevne Trapez havde 

 ogsaa før Apollonios fuld Gyldighed , naar Ordet Keglesnit lages i anlik Forstand som en 

 Ellipse, Parabel eller enkelt Hyperbelgren. Det var nemlig bygget paa Potenssætningen, 

 der, som vi have set, var fuldkonnnen bekjendt paa Archimedes' Tid, for saa vidt den ikke 

 skulde anvendes paa to Hyperbelgrene. Den samme Udstrækning af Potenssætningen giver 

 ogsaa tilstrækkelige .Midler til omvendt al bestemme Stedet til fire Linier, hvoraf el Par 

 modstaaende ere parallele, i alle de Tilfælde, hvor delle Sled virkelig faar den her fordrede 

 Beskaffenhed. Apollonios' Forgængere kunne f. E\. godt have ført Bestemmelsen af Ende- 

 punklerne af den Diameter £/'', der (Fig. 28) halverer Korderne ^C ogßD, tilbage lil Kon- 

 struktion af saadanne Punkler af denne Linie, at Kvadratet paa Afstanden fra et bekjendt 

 Punkt af samme Linie staar i et givet Forhold til Rektanglet af Afstandene fra to andre, 

 hvorefter Keglesnittet er lel nærmere at bestemme. 1 Stedel herfor kunne de ogsaa have 

 benyttet efterfølgende Fremgangsmaade, som vi forelrække al tillægge dem saa vel som Apol- 

 lonios, fordi den ved de Udvidelser af Potenssælningen til lo sammenhørende Hyperbelgrene, 

 som findes i Apollonios" tredie Bog, gjøres anvendelig lil i alle Tilfælde at bestemme Stedet 

 lil fire Linier. Før Apollonios har da kun Behandlingen af det første af de eflerslaaende 

 Hovedtilfælde været gjenneraført. 



Naar de forskjellige Udiryk i Apollonios' tredie Bog for det konstante Forhold i 

 Potenssætningeu skulle anvendes lil Konstruktion af det (fuldstændige) Keglesnit, omskrevet om 

 et givet Trapez, som for en given Værdi af Forholdet / er Sled til Trapezets fire Linier, kan 

 delte bedst ske paa en Maade, som omfatter alle Tilfælde, naar man foreløbig søger al faa 

 bestemt et Keglesnit ligedannet med del søgte. Herved lænke vi dog ikke paa Ligedannet- 

 heden af selve Kurverne, som først har faaet en fuldstændig Behandling i Apollonios" sjette 

 Bog, men vi skulle blot bruge dette Udtryk for Overbliks Skyld, for at belegne, at vi søge 

 Formen af visse lil Keglesnittene horende retliniede Figurer. Al en saadau 

 Bestemmelse af en Figur ved først at bestemme dens Form virkelig er en antik .Methode, 

 have vi dels set el Exempel paa i Slutningen af Apollonios" anden Bog (se S. 78i, dels 

 frenigaar det af, al Euklid i Data udtrykkelig opstiller Sætninger, som gaa ud paa, al en 

 Figur, som er underkastet visse givne Betingelse!', er given i I" or ni. 



