96 



I den foreliggende Opgave kjender man nu til Bestemmelse af det Keglesnit, som 



skal være ligedannet med del om Trapezet A BCD omskrevne (Fig. 28), Værdien / af 



Af 7? 7? /V 



Forholdet .„"„., ' i mellem Produkter af Liniestvkker i to givne Relninger, saml Rel- 

 A K . li hl 



ningen af den Diameier EF, som halverer Korderne i den ene af de givne Retninger. 

 Delle benyttes i Overensstemmelse med ApoUonios' forskjellige Bestemmelser af Konstanten 

 i Potenssætningen paa forskjellig Maade i de følgende forskjellige Hovedtilfælde: 



I) Keglesnittet har ihvad der altid niaa være Tilfældet, naar et enkelt Kegle- 

 snit i antik Forstand virkelig skal omskrives om ABDC) Tangenter i begge de to 

 givne Retninger. Man kjender da Forholdet 



HE .-r- 



TW = '^^- 



mellem disse Tangenter. Naar man da paa den ligedannede HjælpeQgur — hvis tilsvarende 

 Punkter vi ville betegne ved Tilføjelse af Mærker — vælger E' H' vilkaarlig, kjender man: 

 Beliggenheden af en Diameter, dens ene Endepunkt E\ den tilhørende Korderetning samt 

 et Punkt G' med tilhørende Tangent. Det Punkt, som er harmonisk forbundet med E' 

 med Hensyn til Diameterens Skjæringspunkter med Ordinaten til og Tangenten i G' vil 

 ifølge første Bog være Diameterens andet Endepunkt F\ og Keglesnittet er saaledes bestemt. 



2| Keglesnittet ilnilket Ord vi for Nemheds Skyld ville tage i den moderne 

 Forstand som indbefattende den af to Hyperbler sammeüsatte Kurve) har ikke Tangenter 

 i nogen af de to givne Retninger. I delte Tilfælde kjender man Forholdel mellem 

 Tangenterne i de givne Relninger til det søgte ligedannede Keglesnits konjugerede Hyperbel, 

 og kan da bestemme denne paa den her viste Maade. 



3 1 Keglesnittet har Tangenter parallele med Trapezets parallele 

 Sider AC og BD (Fig. 29), men ikke med den anden givne Retning {AB' s). 

 I delte Tilfælde har ApoUonios bestemt det konstante Forhold / som det mellem Kvadraterne 

 paa Tangenten El og paa Halvdelen IK af den med AB parallele Korde EK, som i / 

 halveres af Tangenten El. Man kjender allsaa 



IK ~ El ~ ^^'• 



Vælges E' I' vilkaarligt, haves allsaa til Bestemmelse af det ligedannede Keglesnit 

 en Diameter med Korderetning, samt det ene Endepunkt E' og endnu to Kurvepunkter K' 



') Idel vi kun ter haabe at give det væsentlige af de gumles lieliandling , kunne vi ikl<e lage Hensyn 

 til den Mulighed, al ile have besværliggjort Operationerne ved at opstille denne Betingelse i en 

 saadan Form, at derved toges et ensartet Hensyn lil Korderne AB og CD, ligesom ApoUonios i 

 III, 54—56 til de to Tangenter BA o% BC (Kig. 27). 



i 



