100 



Derved er den ene Diameter a besteml, og den anden bestemmes paa samme Maade. 

 Den sidste Ligning udtrykker netop Sætning 27 i 3die Bog, hvis Bestemmelse altsaa bliver 

 fuldt forstaaelig. At den netop forekommer, hvor vi have Brug for den, bekræfter dernæst 

 Rigtigheden af den Forklaring, vi i det hele give af 3die Bogs Anvendelse til Bestemmelse 

 af Stedet til fire Linier og lignende Bestemmelser. 



Udledelsen af Sætning 27 ved Sætningerne i Euklids 2den Bog staar den analytisk 

 geometriske Udledelse for nær til at behøve nærmere Omtale. Apollonios' Bevis er en 

 synthetisk Omskrivning af denne udledelse. 



Ganske den samme Fremgangsmaade , som her anvendtes paa Ellipsen, kunde 

 ogsaa anvendes paa Hyperblen. At dette ikke har været Apollonios" Tanke, fremgaar 

 deraf, at han ikke anfører den tilsvarende Sætning til 27 for Hyperblens Vedkommende. 

 Denne Omstændighed lader sig dog fuldstændig forklare , hvis Apollonios har kjendl 

 en anden bekvemmere eller ligesaa bekvem Konstruktion af Diametrenes Længder for 

 Hyperblens Vedkommende. Da en saadan tor ventes at støtte sig paa det , som 

 Hyperblen har forud for Ellipsen, nemlig Asymptoterne, behøver man ikke at lede længe 

 ora den. Kurvens Centrum kan først være bestemt, idet man som antaget for Ellipsens 

 Vedkommende har konstrueret det andet Skjæringspunkt F for en Parallel gjennem B med 

 Diameteren — naar vi bruge samme Benævnelser, som paa Fig. 31 — eller idet man som 

 tidligere antydet allerede benytter den ligedannede Figur hertil. Asymptoterne ere dernæst 



bestemte ved Forholdet y mellem Diametrene. Skjære disse Korden AC i Punkterne S og 



T. vil dernæst ifølge nogle af de første og vigtigste Asymptotesætninger, som ere udviklede 

 i anden Bog, den med AC parallele Halvdiameter h være bestemt som Mellemproportional 

 mellem ^<S og AT, eller — hvad der sparer Bestemmelsen af den ene Asymptote — 

 mellem ^-S og <SC 



Naar den søgte Kurve bliver en Parabel , maa dette allerede vise sig ved Bestem- 

 melsen af den ligedannede Figur — som i dette Tilfælde kan foretages paa den første af 

 de flre Maader — , derved at paa denne Figur Diameterens ene Skjæringspunkt E' bliver 

 Midtpunkt af det mellem en Tangent og tilhørende Ordinat afskaarne Stykke. Bestemmelsen 

 af selve den søgte Kurve fremgaar i dette Tilfælde saa let af Parablens Ligning, at der 

 ikke for Apollonios har været Grund til nogen herhenhørende Hjælpesætning, saa meget 

 mindre som Bestemmelsen i dette Tilfælde — efter vor Antagelse — har været bekjendt 

 før hans Tid. 



Hvor simpel og naturlig den Bestemmelse af Stedet til 4 Linier, hvoraf to mod- 

 staaende ere parallele, som vi her have tillagt Apollonios, er, vil maaske være bleven noget 

 skjult uf alt det, som vi have maattet anføre til Begrundelse af, at den virkelig er faldet 



