106 



Overgangen fra en Firkant til en anden maa da under en eller anden Form 

 være falden sammen med en Omdannelse af den opstillede Ligestorhed af anharmoniske 

 Forhold til Ligestorheden af de anharmoniske Forhold 



AiBFDM] = C{BFDM) (4) 



mellem de samme Linier, tagne i andre Ordener. Denne Omdannelse maa være foretagen 

 ved først at give Ligestorheden et fra Sætningen om den indskrevne Firkant forskjelligt 

 udtryk, som mere umiddelbart tilsteder Omdannelsen. 



Simplest opnaas dette ved som i det Bevis, vi have opstillet, at overskjære Linierne 

 i de to Bundter med saadanne faste Linier, som de dele i proportionale Dele. Da man 

 imidlertid ikke altid først finder paa det, som er simplest, kunne de gamle muligvis ogsaa 

 have benyttet Overskjæring med andre Hjælpelinier, hvorefter Ligestorheden i3) mellem de 

 anharmoniske Forhold vilde udtrykkes ved Proportionen mellem Rektangler: 



B'F'.B'M' _ B"F".J)"M" 



ß'M' .JJ'F' ^ B"M".D"F" ' '^^ 



eller en Proportion, som i moderne Forstand vilde være indbefattet i denne, og som var 

 bleven simplere derved, at el eller to Punkter vare fjernede i det uendelige. I det foran 

 førte Bevis var dette Tilfældet med B' og B". Proportionen i dens almindelige Skikkelse 

 som dannet af fire Rektangler kan man meget let have truffet paa, hvis man f. Ex. har 

 ladet begge Hjælpelinier falde sammen med FM, hvorved F' og F" falde sammen med -F, 

 M' og M" med M. Den derved erholdte Proportion eller den dermed ensgjældende: 



B"M.D'M _ B"F.D'F 

 B'M.JJ"M " B'F.VF ' 



som udtrykker det saakaldte Desargues' Theorem, er nemlig ligefrem udtrykt ^ed 

 Sætningen om den indskrevne Firkant, naar man regner Afstandene fra Siderne i Retningen 

 FM, og vi skulle i næste Afsnit videre begrunde, at de gamle virkelig have kjendt denne 

 Omformning. 



Naar nu Henførelsen til den givne Firkant paa en eller anden Maade , det vil sige 

 ved et eller andet Valg af Hjælpelinier, var bragt paa Formen (5), har denne Proportion 

 videre kunnet omskrives til 



B'F' .D'M' — B'M' . D'F _ B" F" . D"M" — B" M" . D" F" 

 B'M- .D'F' B"M" .D"F" ' 



B'D' .F-M' ^ B-'B" .F"M" 

 eller B'M' . F' D' ^ B" M" . F"D"' '' 



som er et udtryk for (4), og som maa kunne vises at udtrykke Henførelsen til Firkant 

 ABCF paa lignende Maade, som Proportion (5) Henførelsen til ABCD. Sammentræk- 

 ningen af Tællerne maa vel have været udstykket i forskjellige Tilfælde efter de forskjellige 



