107 



Fortegn; men den er ikke sau vanskelig M som mange af dem, man lios Pappos kan se, al 

 de gamle have kunnet udføre, ja som man, idet Pappos overhovedet har havt Anledning 

 til at opstille dem som Hjælpesætninger til de ældre Forfattere, maa formode, at disse 

 endog iiave fundet det ufornødent at bevise. 



Jeg tror næppe, at man kan tænke sig, at de gamle til at forelage Overgangen 

 fra et Steds Henførelse til en Firkant til dets Henførelse til en anden kunne have benyttet 

 andre Midler end dem, der (i moderne Forstand) ere indbefattede i de her anførte, og som 

 saaledes i intet Tilfælde kunne have frembudt større Vanskeligheder. 



Ved de mangfoldige særlige Valg af Hjælpelinierne, som ere mulige, kan delte 

 Bevis imidlertid have antaget en Mængde forskjellige Former. Spørgsmaalel bliver nu, om 

 man har holdt sig til en enkelt af disse eller ogsaa kjendt andre og anvendt disse, om 

 ikke just ved selve Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, saa dog til at faa en slørre 

 Mængde Fremstillinger af Keglesnit og derved Midler til forskjellige Undersøgelser, navnlig 

 til at bevise, at forelagte geometriske Steder erre Keglesnit. 



Da Spørgsmaalel nærmest gaar ud paa, om Grækerne kj endte og anvendte 

 andre Frem stil linger af et Keglesnits Frembringelse ved projektive Bundter 

 end den, som haves i selve Sætningen om den indskrevne Firkant, maa det først besvares 

 med en Henvisning til den Frembringelse af denne Art, som vi allerede ere stødte paa i 

 Slutningen af Apollonios' tredie Bog [53 — 56]. Den Relation, hvorved Bundternes Projek- 

 tivitet udtrykkes i denne, vilde være indbefattet i (5), naar man for Fig. 32's og denne 

 sidste Lignings Vedkommende havde ladet Punktet B falde sammen med A og D med C, 

 samt valgt Retningerne af Linierne saaledes, at B' og T)" fjernede sig i del uendelige, 

 o: parallele med Tangenterne i ^ og C. 



Da nu den her omtalte Sætning udtrykkelig findes hos Apollonios, kunde der synes 

 at have været nogen Anledning til at tænke sig den lagt til Grund for Bestemmelsen af 

 Stedet til fire Linier. Den giver i Virkeligheden — som vi alt have bemærket i forrige 

 Afsnit — umiddelbart Stedet til tre Linier. Naar jeg kun er lidet tilbøjelig til ogsaa al 



Den derved anvendte Helation 



Å C .BD — AB. CD + ÅD. BC 

 er i den geometriske Algebra fremstillet ved hosstaaende Figur, 

 hvor A, B', C, D' liave samme Afstande som Ä, B, C, D, og 

 tivis Anvendelse man let vil forstaa, naar vi skrive Relationen 

 saaledes: 



AC. B'D' — AG . B'C + AC. CD' = AC B'C + CD . AC 



= AD .B'C ^- CD. AB', 

 og naar man, vel at mærke, følger denne Anvisning til Om- 

 lægninger af Arealer paa selve Figuren. 



D' 



C 



B' 



B C 



Flg. 33. 

 14' 



D 



