108 



benytte den ved Restitutionen af Stedet til fire Linier, saa er det, fordi der paa Grund af 

 den dertil hørende Firkants særegne Form vilde kræves to Overgange for at komme til en 

 vilkaarlig Firkant, og fordi man, naar man omvendt ved Bestemmelsen af et opgivet Sted 

 gik ud fra en vilkaarlig Firkant, maatte foretage Tangentbestemmelser for at føre del 

 tilbage til det i den omtalte Sætning bestemte Sted til tre Linier. Den, som kunde 

 overvinde de hermed forbundne Vanskeligheder, vilde ikke undlade al bemærke, at man 

 kunde naa hurtigere til IMaalet ved — som vi have gjort — direkte at anvende den af 

 Apollonios i den omtalte Sætningsgruppe benyttede Fremgansmaade paa et indskrevet Trapez, 

 hvorefter kun én videre Omdannelse af Firkanten er nødvendig. 



Dog kan det vedblive al synes underligt, at Apollonios, hvis han i et og alt har 

 bestemt Stedet til fire Linier paa den Maade, som vi have gjort gjældende som den mest 

 nærliggende, ikke snarere i sin Iredie Bog har medtaget den dertil tjenende udvidelse af 

 Euklids opbevarede Porisma (omdannet til Theorem) end den i Sætningerne 53 — 56 inde- 

 holdte Frembringelse af Keglesnittene. Dertil kan imidlertid tænkes forskjellige Grunde. 

 Jeg tror snarest, at det har været den, at han blot har villet vise Udvidelsen af en enkelt 

 af de forud bekjendte Frembringelser af Keglesnit ved projektive Bundter til det af to 

 Hyperbelgrene sammensatte Keglesnit, og da har valgt den, hvor denne Udvidelse var lettest 

 at foretage. Da der nemhg i den i Sætningsgruppen 53 — 56 behandlede Frembringelse kun 

 indgaar to faste og el bevægeligt Punkt, behøves der her til Udvidelsen af den rimeligvis 

 forud kjendte Sætning om él Keglesnit [54] kun to Sætninger [55 og 56]. 1 del nys om 

 Keglesnit udtalte Porisme (omdannet til Theorem) indgaar der derimod — bortset fra det 

 til Konslantbestemmelsen tjenende Punkt F — ialt 5 Punkler af Keglesnittet (A, B, C, 

 D, M), hvorved Udvidelsen til de to Hyperbelgrene') bliver betydelig vidtløftigere. 



Naar jeg i dette ØjebUk lalle om «de forud bekjendte Frembringelser af Keglesnit 

 ved projektive Bundler», har jeg allerede derved forudsal, dels at der var flere saadanne, 

 dels at man ogsaa uden som vi at have Begrebet Projeklivilel at samle dem under, havde 

 en klar Forestilling om deres indbyrdes Sammenhæng. Berettigelsen af disse Forudsæt- 

 ninger henter jeg fra det samme Værk, som gav mig Anvisning paa den Vej til Omdannelse 

 af den indskrevne Firkant, som jeg først har fremslillel som den rimeligste, nemlig fra 

 Euklids Porisme r. 



Dette Skrift er vel tabt, og Pap pos' Oplysninger'-) om dets Indhold have lang 

 Tid væretjgaadefulde; men nu ere disse Gaader i Hovedsagen fuldstændig løste, om der 



') Der bliver først Anledning lil en saadan Udvidelse, naar Porisraet udsiges om Keglesnit. For at 

 kunne anvende det Ul Omdannelsen af et endnu ikke nærmere bestemt Sted til fire Linier, var 

 det altsaa ikke nødvendigt for Apollonios at foretage ea saadan Udvidelse. 



') Hultsch' Udgave 648 ff. 



