110 



[3die Bog, 53 — 56] for Bestemmelsen af projektive Bundter, der frembringe et Keglesnit, 

 kan man slutte, at han ogsaa ifølge Euklids Porismer vidste Besked om, at dette kan 

 udtrykkes ved andre Former for Relationen mellem de Punktrækker, som Bundterne bestemme 

 enten paa de samme Hjælpelinier, som han benytter, eller paa andre. Tager man nu 

 Hensyn til de mange Udtryk for Projektiviteten, som efter Pappos maa være opstillede i 

 Euklids Porismer, faar man derved lige saa mange Bestemmelser af Keglesnit frembragte 

 ved saadanne Liniebundler, hvis Forbindelse vi nu kunne sammenfatte til den ene, at disse 

 Bundter ere projektive. 



Herved faa vi for det første en Forklaring paa Apollonios' Ytring i Fortalen, at hans 

 tredie Bog, samtidig med at den tjener til den fuldstændige Bestemmelse af Stedet til tre 

 eller fire Linier, overhovedet giver fyldigere Midler til Bestemmelse og Diskussion af solide 

 Steder; thi enhver Form for den her omtalte Frembringelse er et Stedtheorem. Naar Apol- 

 lonios siger, at disse Midler tildels ere nye, maa der vist nok som sædvanlig fortrinsvis 

 tænkes paa den for Stedernes Diskussion saa vigtige Betragtning af sammenhørende Hyper- 

 belgrene. Bortset fra denne kan Porismernes Forfatter, der delvis kjendte Bestemmelsen 

 af Stedet til fire Linier, ikke have været fremmed for saadanne Frembringelser af Keglesnit, 

 som vi her have omtalt, og Aristaios' Bog om solide Steder kan muligvis have indeholdt 

 adskillige Exempter paa dem. 



Dernæst bekræfter den almindelige Betragtning af Forbindelsen mellem Læren om 

 solide Steder og Euklids Porismer Rigtigheden af den Anvendelse, vi have gjort af det 

 fuldstændig bevarede Porisme. Betragter man nemlig de forskjellige Former, hvorunder 

 Frembringelsen ved projektive Bundter overhovedet lader sig udtrykke i Overensstemmelse 

 med Purismerne, viser det omtalte Porisme tydelig, at Bundternes Bestemmelse ved at 

 dele visse Linier i proportionale Dele ikke kan være glemt. Vi have da næppe taget syn- 

 derlig fejl i den Formodning, vi i Begyndelsen af dette Afsnit have opstillet om, hvorledes 

 de gamle have iværksat den Overgang fra en indskreven Firkant til en anden, som har 

 været et nødvendigt Led i deres fuldstændige Bestemmelse af Stedet til fire Linier. 



Hvad vi her have bygget paa, er dels Visheden om, at Apollonios fuldstændig, hans 

 Forgængere delvis, har bestemt Stedet til fire Linier, dels den sidste Sætningsgruppe i 

 Apollonios' tredie Bog, dels endelig de foreliggende paalidelige Oplysninger om Indholdet 

 af Euklids Porismer. Vore Slutninger gaa ud fra det geometriske Faktum , at alle disse 

 undersøgelser ifølge deres Indhold hænge nøje sammen, og føre da, idet blot denne Sam- 

 menhæng er benyttet paa den mest nærliggende Maade, til at de gamle have kjendt 

 Frembringelsen af Keglesnit ved projektive Bundter fuldstændig paa dens 

 Samraenfatten ved det fælles Begreb Projektivitef nær. 



Ved at opstille dette Resultat gaa vi imidlertid betydelig videre end C hastes ifølge 

 hans Udtalelser om Porismernes Nytte og Anvendelse. I selve Anvendelsesmaaden er der 



