124 



have besternt et Punkt af Stedet, nøjedes med at betragte det Keglesnit, som gik gjeiinem 

 dette Punkt. Maaske kan man ogsaa — som i Archimedes" Form for et Keglesnits Ligning 

 henført til en Diameter — ligefrem have sat el vilkaarligt opgivet Kurvepunkt i Stedet for 

 Konstanten. I hvert Tilfælde maa Grækerne have bemærket den nøje Forbindelse, hvori 

 Bestemmelsen ved Værdien af Forholdet staar med Bestemmelsen ved et femte Punkt. 

 Reelt har Apollonios saaledes ved sin Fuldstændiggjørelse af Bestemmelsen af Stedet til 

 fire Linier fuldstændig løst den Opgave at konstruere et Keglesnit gjennem fem givne 

 Punkter. Ordet Keglesnit maa derved tages i den moderne Betydning, saaledes at en 

 Hyperbels to Grene opfattes som et enkelt Keglesnit. 



Den Omstændighed, at vi have været nødsagede til denne Sprogbrug, for at Opgaven 

 i Almindelighed skulde kunne løses, bidrager til at forklare, at den ikke findes behandlet i 

 Apollonios' Værk. Dette kan nemlig ikke , som da der var Tale om geometriske Stedbe- 

 stemmelser, forklares ved at opstille en Formodning om, at en direkte Behandling af denne 

 Opgave ikke vilde passe med dette Skrifts Formaal. Ligesom den Opgave at omskrive en 

 Cirkel om en Trekant har faaet sin Plads i Euklids Elementer, saaledes vilde det være 

 naturligt at medtage den Opgave at omskrive et Keglesnit om en Femkant eller at lægge 

 et Keglesnit gjennem fem Punkter i Keglesnitslærens Elementer, hvis man overhovedet 

 havde naaet at give denne Opgaves Behandling en saadan Skikkelse og indpasset den saa- 

 ledes i de strenge, vedtagne Former, at den lier kunde medtages. Denne Formgivning har 

 imidlertid frembudt sine Besværligheder, som ingenlunde have været overvundne derved, 

 at man som sagt reelt har løst Opgaven, men i en anden Form end den, som vilde lade 

 den passe med de Definitioner, bvorpaa, og den Plan, hvorefter Apollonios' Lærebygning 

 er opført. 



Vilde man nemlig uden videre stille den Opgave at lægge et Keglesnit gjennem fem 

 Punkter, antager jeg, at en græsk Mathematiker, selv om han fuldstændig kjendte Bestem- 

 melsen af Stedet til fire Linier, vilde begynde med at opfatte denne Fordring blot som en 

 Sammenfatten i Ord af tre Opgaver vedrørende Ellipsen, Parablen og Hyperblen'!. Den af 

 disse, der vedkom Parablen, vilde han da snart finde at være overbestemt, idet man af en 

 Parabel højst kan opgive fire Punkter. Bestemmelsen ved disse vilde tilmed blive en helt 

 anden Opgave, som ikke er løst med Bestemmelsen af Stedet til fire Linier. Hvad Bestem- 

 melsen af en Ellipse eller Hyperbel ved fem Punkter angaar, saa vilde der kræves en Dio- 

 risme, som udtrykte de Betingelser, som de givne Punkter niaatle tilfredsstille, for at der 



H alley synes at være af samme Mening, for saa vidt han i sin Restitution af Apollonios' 8de Bog 

 stiller Spørgsmaalene om Bestemmelsen af hver enkelt af de tre Kurver særskilt. Som det ses, 

 er jeg fremdeles enig med IhiUey i ikke at antage, at Bestemmelsen af Keglesnit ved 5 Punkter 

 har hørt med til dem, som Sde Bog indeholdt. Ved disse vilde Imlhohlcl af 7de Bog nemlig ikke 

 spille en saadan Rolle,, som Fortalen angiver. 



