125 



virkelig derigjenucm skulde kuiuiu Uiigges iielop den al' iùirvenie, som man lurlangte. For 

 Ellipsens Vedkommende vilde det maaske endog anses nødvendigt at sikre sig imod, al 

 den gik over til en Cirkel, som Apollonios i sine Sætninger stadig nævner ved Siden af 

 Keglesnittene, og saaledes ikke direkte regner med blandt disse, om lian end derved lægger 

 for Dagen, at han véd, at de almindelige Sætninger om Keglesnit ere anvendelige paa 

 den, ligesom han ogsaa i første Bog liar paavist to Rækker cirkulære Snit i skjæve Kegler. 

 Selv om endelig Fordringen om Konstruktion af et Keglesnit forstodes rigtig saaledes, al 

 Kurven efter Omstændighederne skal kunne blive Hyperbel, Parabel, Ellipse eller Cirkel, 

 vedblev en Diorisme at være nødvendig for at sikre sig imod, al de fem Punkter fordelles 

 paa en Hyperbels to Grene, i hvilkel Tilfælde man ikke havde faael, hvad Grækerne forsiode 

 ved ét Keglesnit gjennem fem Punkler. 



At Apollûnios ikke har medtaget Bestemmelsen af el Keglesnit ved fem Punkler, 

 røber, al han ikke har gjennemførl en tilstrækkelig kort Løsning af de lier antydede for- 

 melle Vanskeligheder. De dertil nødvendige Diorismer ere ganske vist ikke svære; men 

 ligesom vi nutildags ikke pleje al lægge nogen stor Vægt paa en udtrykkelig Opstilling af 

 Betingelserne for, al Keglesnittet gjennem 5 Punkter bliver en Ellipse, Parabel eller Hy- 

 perbel, og i sidste Tilfælde paa en Undersøgelse af, hvorledes Punkterne fordele sig paa 

 dennes Grene, saaledes har den her berørte formelle Bearbejdelse heller ikke havt Interesse 

 for Apollonios, netop fordi han havde de reelle Resultaler paa el andet Punkt, nemlig i 

 Bestemmelsen af Stedet til fire Linier.. 



Naar jeg siger, al ved denne Bestemmelse var Opgaven al lægge el Keglesnit gjen- 

 nem fem Punkter reelt løst, saa mener jeg dermed, at man virkelig havde opnaaet det 

 samme, som vi ved Fiøsningen af denne almindelige Opgave, og al man virkelig var i Stand 

 til at anvende denne Bestemmelse i de samme Tilfælde, hvor vi anvende den almindelige 

 Konstruktion af et Keglesnit gjennem fem Punkter. Først og fremmest indbefattes heri, 

 at man kunde udføre Konstruktionen i alle enkelte Tilfælde, at man altsaa virkelig kunde 

 lægge en Ellipse eller Hyperbelgren gjennem saadaune fem Punkter, hvorigjennem der kan 

 gaa en saadan. Dernæst var man i Stand til saadanne Anvendelser som den deraf at slutte, 

 al to Keglesnit højst skjære hinanden i Qre Punkter. Endelig forelaa der Midler til de videre 

 gaaende Undersøgelser, som knytte sig til Bestemmelsen af et Keglesnit ved fem Punkter, 

 saasoni til at finde Betingelsen for, at delte i et af disse Punkter har en given Tangent. 

 Det vil nu virkelig kunne paavises, at Grækerne i disse Retninger vare naaede saa vidt 

 som her angivet, om end Forbindelsen med Bestemmelsen af Stedet til fire Linier ikke 

 træder umiddelbart frem. 



Vi skulle begynde med, hvad der Undes i selve Apollonios' Keglesnilslære. I dette 

 Værks fjerde Bog bevises, al to Keglesnit højst skja;re hinanden i fire Punkler, og dette 

 Resultat udstrækkes dernæst til de Tilfælde, hvor det ene af de to Keglesnit eller begge 



