127 



delsc niulltîiii denne Konslruklion og Apollonios' Sælninger om Anlal af Skjæringspunkler. 

 Selv om den, som vi formode, har værel mere direkte, kan delle ikke komme frem i lians 

 Værk, hvor han kun kan bygge paa de Resullater, som ere udviklede i samme Værks lid- 

 ligere Bøger, allsaa ikke paa Sælninger om Stedel til fire Linier. 



Til Grund for Apollonios' Beviser for Sætningerne om Antal af Skjæringspunkter 

 ligger Polarsætningen. Holder man sig foreløbig til det Tilfælde, hvor der kun er Tale 

 om Keglesnit i antik Forstand, kan man paa følgende iMaade [■ide 

 Bog 25] bevise Umuligheden af, at to Keglesnit skjære hinanden i 

 fem Punkter A, B, C, D, E (Fig. 35), som man kan antage at 

 følge saaledes paa hinanden (paa et af Keglesnittene), at der ikke 

 mellem to paa hinanden følgende findes noget andet Skjærings 

 punkt. 



Polaren til Skjæringspunktet O mellem AB og CJ> maa 

 være den samme for begge Keglesnit; thi den bestemmes ved de 

 Punkter, som ere harmonisk forbundne med O med Hensyn lil 

 .4 og i? og med Hensyn til C og D. Skar nu OE denne fælles 

 Polar i G, maatte begge Keglesnit gaa gjennem det Punkt E, som 

 er harmonisk forbundet med E med Hensyn til O og G\ men 

 dette Punkt /' vilde tvertimod den opstillede Antagelse ligge imel- 

 lem B og C. 



I 36 beviser Apollonios dernæst, at et Keglesnit (i antik Forstand) højst skjærer to 

 sammenhørende Hyperbelgrene i fire Punkter, og i 53, al ligeledes lo sammenhørende 

 Hyperbelgrene højst skjære to andre i fire l^unkler. Han kommer til disse Besultaler ved 

 i foregaaende Sætninger enkeltvis at undersøge de forskjellige mulige Fordelinger af Skjæ- 

 ringspunkter paa de to sammenhørende Hyperbelgrene. Hertil benyttes dels den samme 

 Anvendelse af Polaren som i 25, dels Betragtninger over Retningerne af Grenenes Kon- 

 kavitet. 



Af specielle Tilfælde behandles kun de, hvor lo Kurver have el Berøringspunkt 

 med hinanden, i hvilkel Tilfælde det vises, at Skjæringspunkternes .\Iaximumsantal formind- 

 skes med to. Derimod findes ingen Undersøgelse om Indflydelsen af Parallelisme mellem 

 Asymptoter lil to Hyperbler, ellei' mellem en Asymptote lil en Hyperbel og en Parabels Axe. 

 Da imidlertid som nys berørt Figurbelraglninger spille en væsentlig Bolle i Undersøgelsen, 

 og man endog blandt Apollonios' egne Figurer, nemlig i Beviset for Sætning 53, finder en, 

 hvor netop den omtalte Parallelisme indtræder, kan det ikke antages, at delle Tilfælde har 

 værel helt upaaagtel af de gamle. Apollonios viser ogsaa, som vi i det følgende nærmere 

 skulle omtale, i 5te Bog, at han i saadanne Tilfælde véd riglig Besked om Skjærinespnnk- 

 lerues Antal. 



Fis. 3.5. 



