131 



hvor l'orhüldet / og I'iinkterue A, B, C, L> ere üivne, er nu üldags let lor enhver, som 

 kan elementær Mathematik, idel den opgivne delation, naar man regner Alstandene til de 

 l'orskjellige Punkter ud fra et fast Punkt, bliver lil en Ligning af anden Grad, og med 

 omtrent lige saa lidt Besvær kunde de græske Mathematikere ad tilsvarende Vej omdanne 

 Opgaven til et Fladeanlæg. Fordres der derimod en saadan omhyggelig Diskussion, som 

 behøves, naar Opgaven behandles for videregaaende Undersøgelsers Skyld, og skal der 

 ved denne Diskussion, som nærmest maa gaa ud paa al finde, naar der kommer to, én 

 eller ingen Opløsning, tages Hensyn til de forskjellige Beliggenheder, de givne Punklpar 

 AC og BD kunne have, om de skille hinanden eller ej, om Punkterne i samme Par falde 

 sammen, eller det ene fjerner sig i det uendelige, saa bliver Opgaven strax temmelig vidl- 

 løftig, og dens Behandling fører, om man end ikke udtrykkelig fremdrager den Række 

 Punktpar, hvilke Ligningen bestemmer, naar man tillægger X forskjellige Værdier, og hvis 

 Forbindelse nu kaldes Involution, dog faktisk til en hel Involu tionslheori. De Punkter, 

 som faas, naar }, faar Grænseværdierne for Opløselighed, blive saaledes Involutionens Dobbelt- 

 punkter. 



Nu se vi hos Pappos, al Apollonios virkelig har gjennemført en saadan Under- 

 søgelse, som har været betydelig vidtløftigere paa hin Tid, da man ikke regnede Stykkerne 

 med Fortegn, og da el opgivet ?., der vilde svare til J^ ?. i Nutiden, kunde give indtil 4 Punk- 

 ter. Der er af Apollonios taget Hensyn til det Tilfælde, hvor et af de lo Rektangler ombyttes 

 med et Kvadrat, allsaa hvor f. Ex. yl og C falde sammen, lil det, hvor et ubekjendl Linie- 

 stykke f. Ex. CP ombyttes med et givet , hvilkel vilde svare til, al C fjerner sig i det uen- 

 delige, og særlig har man beskjæfligel sig med Maximums- og Minimums-bestemmelser, 

 altsaa med Bestemmelsen af Involutionens Dobbeltpunkler. Endnu en Interesse knytter der 

 sig til selve den stillede Opgave, nemlig den ikke blot al finde en saadan algebraisk Løs- 

 ning, som umiddelbart fremgaar af bekjendte Operationer, men ogsaa at komme til eu 

 mere elegant geometrisk Løsning. En saadan fremgaar af Betragtning af Skjæringspunk- 

 terne mellem et Cirkelbundt og en ret Linie, særlig Bundtets Centerlinie. Hvis man tor 

 anse el lille Slykke af Pappos' Redegjørelse, som Hullsch meddeler mellem Klammer, for 

 ægte, har ogsaa Apollonios foi'uden den algebraiske Løsning, som i sin geometriske Form 

 ogsaa paa hans Tid var lettest at finde paa, givet en særlig sindrig Løsning ved Halvcirkler, 

 som vistnok netop har knyttet sig til et Cirkelbundts Egenskaber. 



Disse gode og fuldstændige Oplysninger om det almindelige Indhold i Apol- 

 lonios' tabte Værk bekræftes i al Almindelighed ved de Hjælpesætninger, som Pappos med- 

 deler længere hen i 7de Bog'i. Derimod er det her som overalt kim tilfældigt, naar man al 

 Hjælpesætningerne kan udlede et og andet om Apollonios' Behandling af Enkelthederne. 



') Hultscir Udgave S. 70i IV. 



17* 



