132 



iVJan kan af den føiste Hjælpesætning^) slutte , at Apollunios i det 'liUælde, hvor 

 ^ = 1 , og hvor man altsaa skal bestemme P (der da bliver Involutionens centrale Punkt) 

 af AF . PC = BF. FD, har benyttet Relationen 



BF _ AB .B C 

 DP " AI) .DC ' 



For denne Relation fører Pappos nemlig flere Beviser, og det er da rimeligt al 

 antage, at Apolionios enten har brugt den uden særligt Bevis, idet den jo let efter at være 

 udtalt lader sig verificere ved geometrisk Algebra eller ved Proportionslairen, eller at han 

 ikke har taget de systematiske Hensyn til Euklids Elementer, som krævedes paa Pappos' 

 Tid. For øvrigt tør det sikkert antages, at Apolionios ogsaa har kjendt den nærliggende 

 geometriske Løsning af denne Opgave ved Potenslinien til Cirkler gjennem A og C og 

 gjennem B og D. 



Man kan fremdeles af flere af Hjælpesætningerne, f. Ex. Sætning 40'^), slutte, at 

 Apolionios sandsynligvis i sin Grænsebestemmelse for Opgavens Mulighed har bestemt et 

 Dobbeltpunkt E i den ved Punktparrene A, C og B, B givne Involution ved 



AB .BC: AB. DC = BE'': DE''. 



Muligvis kan man fremdrage flere lignende Enkeltheder angaaende Resultaternes 

 Form i Apolionios' tabte Skrift og deres Begrundelse. Da vi dog alt af Indholdsangivelsen 

 vide, hvor langt han naaede, og da vi kjende de rigelige Midler, som ved denne elementære 

 Undersøgelse have kunnet benyttes for at naa saa vidt, har en videre Eftersporing af disse 

 Enkeltheder ikke synderlig Interesse, i det mindste saa længe den ikke kan fremdrage 

 direkte Oplysninger om en Forbindelse mellem Studiet af Involution og Porismernes 

 Bestemmelser af projektive Punktrækker. 



Derimod vilde positive Oplysninger om , hvortil den udviklede Involutionslære har 

 været benyttet, være af stor Betydning. Da man imidlertid ogsaa uden saadanne tør antage, 

 at et saa betydeligt og, som vi vide fra den moderne Geometri, saa fortrinligt Værktøj, 

 kun er blevet til i dens Haand, som har forstaaet at bruge det, og da Grækerne paa Apol- 

 ionios' Tid i deres Viden om, at Stedet til fire Linier er et Keglesnit, vare fuldstændig i 

 Besiddelse af Betingelserne for, netop at anvende det paa det Omraade, hvor det nu 

 bruges med størst Udbytte, er der al mulig Grund til at tro, at det virkelig er paa dette 

 Omraade, at man har anvendt det. 1 denne Opfattelse af det nævnte Skrifts Betydning vil 

 man blive bestyrket ved i det følgende at se , at ogsaa Apolionios' andre Smaaskrifter løse 

 Opgaver, til hvilke Sætninger i Keglesnitslæren have givet den naturligste Anledning, og 

 som frugtbargjøre disse Sætninger. 



») Hultscli' Udgave S. 704. 

 ') llultsch' Odgave S. 732. 



