139 



I ovonstaaendc Ligning l'or Cirklen vil man da strax for *--f ,y'^ have sal Kvadratet r- paa 



Afstanden fra Begyndelsespunktet, og aæ -\- b_// -^ C vil være trukket sammen f. Ex. til 



Rektanglet af Linien a og det Stykke, som paa en Parallel med Abscisseaxen af'skjæres 



mellem Punktet [x,î/) og den rette Linie ax -\- by -\- C ^ 0. Dette sidste Rektangel er 



ligt det, der dannes af Punktet {æ,i/ys vinkelrette Afstand fra denne rette Linie og af en ny 



konstant Længde a' . I det retvinklede Koordinatsystem med samme Begyndelsespunkt og 



med Ordinataxen parallel med aæ + by -}- C ^ O, vil Cirklen saaledes være fremstillet 



ved en Ligning af Formen 



7-2 -j-a' (æ — C) = O , 



idet A' = c er den ny Ligning for Linien ax + hy -\- C ^ O, c — x aKsaa det Stykke, som 

 afskjæres paa den ny Abscisseaxe mellem el fast Punkt og Fodpunktet af Ordinaten til Kurve- 

 punktet (x, y). At denne ny Ligning fremstiller en Cirkel, udtales udtrykkelig af Apollonios i 

 det 3die af de plane Steder i anden Bog, som Pappos anfører M- Til at se Rigligheden af 

 denne Sætning kræves kun en enkelt Anvendelse af det før omtalte fra Løsningen af Lig- 

 ninger af anden Grad kjendte Kunstgreb. 



Ved at gaa videre i Benyttelse af anden Bog af Apollonios' plane Steder vil man, 

 her som nys ved den rette Linie, faa bekræftet, at de gamle virkelig have benyttet de anførte 

 Hjælpemidler. Sætning V i Pappos' Redegjørelse er nemlig af en saa almindelig Natur, 

 at der ikke paa Forhaand frembyder sig noget Fvoordinatsystem, i hvilket det beskrevne 

 Steds Ligning antager en simplere Form end Ligningen for en aldeles vilkaarlig Cirkel. 

 En Reduktion af den nys beskrevne Art, der ganske vist kan have havt den specielle Sæt- 

 ning IV til Mellemled, maa altsaa være foretaget for at godtgjøre, at Stedet virkelig er en 

 Cirkel. 



Sætningen gaar ud paa, at det geometriske Sted for et Punkt, der bestemmes saa- 

 ledes, at Summen af Arealerne af Figurer ligedannede med givne, som konstrueres paa dets 

 Forbindelseslinier med et vilkaarligt Antal givne Punkter, har en given Størrelse, o; saaledes, 

 at Kvadraterne paa Forbindelseslinierne tilfredsstille en Ligning af første Grad (med positive 

 Koefficienter), er en Cirkel. I Sætning IV betragtes kun to Punkter. 



At Stedet ogsaa bliver en Cirkel, naar der i denne Ligning tilføjes Led af Formen 

 aæ, hvor x er Projektion paa en fast Linie af det løbende Punkts Afstand fra et fast Punkt, 

 udtrykkes i en noget mindre almindelig Form i VI. 



3. Ligningen 



y'^ = ax--\-bx-\-C 



kan, naar den derved fremstillede Kurve skjærer Linien ,y = O, omdannes til den vel be- 

 kjendte Form ?/^ == pæ-\-ax-. I alle Tilfælde kan man ved en enkelt Anvendelse af det 

 til Løsning af kvadratiske Ligninger anvendte Kunstgreb komme til Formen: 



') Hultsch' Udgave, S. 666. 



18' 



