141 



AF ^ AG_ _ AC^ 

 FD ~ GB ~ CB ' 



livoraf, idel AF = i^AC, 



CB = %FD eller ^^!±f^' - = 4. (a) 



r U- 



Af den sidste Ligning, der aabenbart bar den her behandlede Form, slutter Pappos umid- 

 delbart, at Stedet er en Hyperbel M- 



At allerede Euklid i et andet Tilfælde har gjort den samme Slutning, kan ses af 

 Pappos' anden Hjælpesætning til Euklids Overfladesteder-). Naar Pappos nemlig der opstiller 

 og fører et fuldstændigt Bevis for, at det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande 

 fra et givet Punkt og en given Linie staa i et givet Forhold (som paa Fig. 38 B fra C og 

 fra Linien i^G), er en Ellipse, Parabel eller Hyperbel, efter som Forholdet er = I, saa maa 

 Euklid i det anførte Skrift have benyttet dette , og Trangen til en Hjælpesætning maa være 

 kommen af, at han ikke beviser det. Han maa altsaa betragte det som indlysende eller 

 bekjendt. Gjør han det første, maa det være i Kraft af, at Ligningen faar den Form, hvor- 

 med vi her beskjæftige os, hvorefter man let har kunnet verificere de angivne Betingelser for, 

 at Kurven bliver en Ellipse, Parabel eller Hyperbel. At han faar disse Betingelser med, gjør 

 dog den Antagelse rimeligere, at han' benytter en Sætning, som forud var bekjendt, og 

 denne Antagelse stemmer da ogsaa med, at det er den samme Sætning, der uden selv at 

 bevises har faaet Anvendelse paa de to forskjellige Steder, som vi her have anført. 



Er denne Antagelse, at Henførelsen af et Keglesnit til Brændpunkt og Ledelinie 

 var vel bekjendt. rigtig, tør man ikke benytte Pappos' umiddelbare Anvendelse af Ligning (a) 

 som Exempel paa almindeligt Kjendskab til Ligningsformen y'^ = aæ"^ -\-hx-\- C. Til 

 Gjengjæld have vi imidlertid saa faaet en ny speciellere Form, hvortil det kan være fordel- 

 agtigt at reducere ogsaa andre af de Ligninger, der henhøre under den samme almindelige 

 Form. Endvidere vil Pappos' Bevis for de forudsatte Sætninger give nye og meget lære- 

 rige Exempler paa de Kunstgreb, som anvendtes under den virkelige Behandling af Ligninger 

 af den her omhandlede Form. 



Er der (Fig. 39, hvor vi have bibeholdt Bogstaverne fra Fig. 38) givet 



BD^+CD-' 



FW. = ^-. <») 



vil det for ogsaa her at kunne sammentrække Leddene være bekvemt paa [linien FC^ at 

 bestemme Punktet 7 saaledes, at 



') Det er naturligvis IjIoI on Forglemmelse af Pappos, naar han siger al Knrvcn liliver en tlypcrbel, 

 naar blot det sidste Forhold er konstant, nden at anfore, at den konstante Værdi da skal værc 

 slørre end I. 



-) Hultsch' Udsave, 1004 ir. 



