144 



er el temmelig umiddelbarL Udlryk for Arealsætningen , og hvoriedes det ved en saadan 

 Ligning fremstillede Keglesnit nærmere bestemmes. 



Denne Form faar f. Ex. Ligningen for Stedet for et Punkt, som er uforanderlig 

 beliggende paa en uforanderlig ret Linie, hvis Endepunkter glide paa rette Linier, saafremt 

 man tager disse Linier lii Koordinataxer. Dette Sted har man i Oldtiden i det mindste 

 havt nogen Anledning til at undersøge, da man, som det kan ses af nogle af Proklos med- 

 delte ') Betragtninger af Geminos, kjendte Stedet i det specielle Tilfælde, hvor de to faste 

 Linier danne en ret Vinkel. Selve dette Tilfælde kan her ikke bruges som Exempel, da 

 Ellipsen i dette strax bestemmes ved sin Axeligning. 



Arealsætningen har været et Hjælpemiddel, som altid kunde benyttes til Bestem- 

 melse af solide Steder, hvis Centrum var et Punkt, som forud kjendtes eller forud lod sig 

 bestemme. Det har i saadanne Tilfælde ogsaa kunnet anvendes, førend Arealsætningen ved 

 Benyttelsen af den anden Hyperbelgren og den konjugerede Hyperbel fik sin fulde udstræk- 

 ning, idet man altid kunde vælge saadanne Koordinataxer, som selv skjære det geometriske 

 Sted. Det har derfor været særdeles værdifuldt før ApoUonios' Tid, da man ikke besad det 

 endnu mere omfattende Hjælpemiddel, Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, i sin fulde 

 Udstrækning. 



I Forbindelse hermed kunne vi minde om den Rolle, som Arealsætningen har 

 spillet ved Bestemmelsen af selve det sidstnævnte Sted, om vi end antage, at denne Anven- 

 delse har havt Potenssætningen til Mellemled. 



7. Vi skulle nu gaa over til den almindelige Bestemmelse af saadanne solide 

 Steder, som ikke ere satte i Forbindelse med Linier og Punkter, der paa en saadan Maade 

 høre til det Keglesnit, som skal fremstilles, at Fremstillingen faar en af de forud omtalte 

 simplere Former. Tager man da nogle af Figurens Linier til Koordinataxer, vil Lig- 

 ningen blot blive af anden Grad. 



En lille Simplifikation i denne \il man dog altid kunne opnaa ved at lade Begyn- 

 delsespunktet være el Punkt af selve det søgte Sted, hvorved Ligningen bhver 



ax"- -\- ßxy + yy- -\- dx -f- e^ = O . 

 Nærliggende Sammentrækninger af Leddene føre da strax til 



x(ux~{- ßy + d\ = —y(ry + e), 

 eller til Fremstilling som Sted til fire Linier, hvoraf to ere parallele. Dette Sled er det, 

 hvis nærmere Bestemmelse vi have lært at kjende i 7de Afsnit. 



Henførelsen til en almindelig Ligning af anden Grad i Parallelkoordinater, efterfulgt 

 af Sammentrækninger, er her en Vej, som vi have anført for Sammenligning med den ana- 

 lytiske Geometri, og som ikke indeholder noget Skridt, der var ukjendt af Grækerne; men 



') FriedleiiiB Udgave, S. lOö. 



i 



