160 



altsaa falde indenfor Parablen PD. Dens Parameter — bliver altsaa mindre, følgelig ogsaa 

 det dertil svarende \olamen b'c. 



Selve denne Diskussion saa vel som Figuren udvise, at der, naar b^c <C ^jo^, 

 kommer to Opløsninger, af bvilke den ene er mindre, den anden større end fa, eller ved 

 Proportionen (7i bestemmes to Punkter X, af hvilke det ene falder paa DQ, del andet 

 paa QZ. 



Skal nu den her diskuterede Ligning (Ih eller Proportionen (7) særlig anvendes 



771 



paa Kuslens Delins, er (Tis. 40i a = DZ = S*-, b = DB = ^r . c = TZ= ; — ?■. 



altsaa 



77) 



h-'c = h — ^ — ri<,kr^ = J^a3, 



in -\- 11 ' ' 



saa Delingen af DZ er mulig, og da det søgte Punkt X skal falde paa Ruglens Diameter 

 DB^ maa man have x<,DB = \a. Følgelig kan man kun bruge den ene af de lo Op- 

 løsninger af Ligningen. Selve den stillede Opgave faar saaledes altid én og kun én Opløs- 

 ning og giver altsaa, som Archimedes siger, ikke Anledning til nogen Diorisme. 



Del er klart, at enhver Ligning af tredie Grad, hvor Leddet af første Grad mangler, 

 maa kunne diskuteres ganske paa samme Maade , som den speciellere Form her er bleven 

 det. Endvidere lader en Bestemmelse af saadanne Værdier af a*, som blive lige Rødder 

 i en almindelig Ligning af Iredie Grad, og derved Ldledelsen af Betingelsen for saadanne, 

 sig knytte til den antydede Løsning ved en Parabel og en Hyperbel. Den lader sig 

 nemlig ogsaa føre tilbage til Bestemmelsen af en Parabel med Axen paa en given ret Linie, 

 som gaar gjennem et givet Punkt og i dette bar en given Tangent. 



Naar vi nu sammenfatte alt dette, faa vi ud, at Archimedes har ført en vis 

 Opgave, der ikke umiddelbart fremtraadte som en kubisk Ligning, tilbage 

 til en saadan, at han grafisk ved Skjæring mellem to Keglesnit har løst 

 denne Ligning, der henhørte under Formen *•* — aa-^ + è-e ^0, og at lian 

 har anvendt sin Losning til Bestemmelse af de positive Rødder i enh\er 

 saadan Ligning, hvor a og c ere positive, og undersøgt Betingelserne for, 

 al der mellem O og a er O, 1 eller 2 Rødder. 



Det viste sig endvidere, at Løsning og Diskussion umiddelbart kuune 

 anvendes paa alle saadanne kubiske Ligninger, hvor Leddet af første Grad 

 mangler, og at de temmelig let lade sig udvide til enhver kubisk Ligning. 



Herved have vi nu rigtignok forudsat, at Eutokios' Formodning om, at det af ham 

 fundne Manuskript virkelig indeholder Archimedes' egen videre Behandling af Opgaven, 

 er rigtig. Denne Formodning bekræftes i høj Grad ved Overensstemmelsen mellem delle 

 Manuskript og Archimedes' egen Ytring om, at Diorismen først finder Anvendelse paa den 



